Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfil Unicode version

Theorem snfil 17575
 Description: A singleton is a filter. Example 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 16-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
snfil

Proof of Theorem snfil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elsn 3668 . . . 4
2 eqimss 3243 . . . . 5
32pm4.71ri 614 . . . 4
41, 3bitri 240 . . 3
54a1i 10 . 2
6 elex 2809 . . 3
8 eqid 2296 . . . 4
9 eqsbc3 3043 . . . 4
108, 9mpbiri 224 . . 3
12 simpr 447 . . . . 5
1312necomd 2542 . . . 4
1413neneqd 2475 . . 3
15 0ex 4166 . . . 4
16 eqsbc3 3043 . . . 4
1715, 16ax-mp 8 . . 3
1814, 17sylnibr 296 . 2
19 sseq1 3212 . . . . . . 7
2019anbi2d 684 . . . . . 6
21 eqss 3207 . . . . . . 7
2221biimpri 197 . . . . . 6
2320, 22syl6bi 219 . . . . 5
2423com12 27 . . . 4
26 vex 2804 . . . 4
27 eqsbc3 3043 . . . 4
2826, 27ax-mp 8 . . 3
29 vex 2804 . . . 4
30 eqsbc3 3043 . . . 4
3129, 30ax-mp 8 . . 3
3225, 28, 313imtr4g 261 . 2
33 ineq12 3378 . . . . . 6
34 inidm 3391 . . . . . 6
3533, 34syl6eq 2344 . . . . 5
3631, 28, 35syl2anb 465 . . . 4
3729inex1 4171 . . . . 5
38 eqsbc3 3043 . . . . 5
3937, 38ax-mp 8 . . . 4
4036, 39sylibr 203 . . 3
4140a1i 10 . 2
425, 7, 11, 18, 32, 41isfild 17569 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801  wsbc 3004   cin 3164   wss 3165  c0 3468  csn 3653  cfv 5271  cfil 17556 This theorem is referenced by:  snfbas  17577  efilcp  25655 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-fbas 17536  df-fil 17557
 Copyright terms: Public domain W3C validator