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Theorem snnex 4540
Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
snnex  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem snnex
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vprc 4168 . . . 4  |-  -.  _V  e.  _V
2 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
32snid 3680 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
{ z }
4 a9ev 1646 . . . . . . . . . 10  |-  E. y 
y  =  z
5 sneq 3664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  { z }  =  { y } )
65eqcoms 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  { z }  =  { y } )
76eximi 1566 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  y  =  z  ->  E. y { z }  =  { y } )
84, 7ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  E. y { z }  =  { y }
9 snex 4232 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  _V
10 eleq2 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  {
z } ) )
11 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { z }  ->  ( x  =  { y }  <->  { z }  =  { y } ) )
1211exbidv 1616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( E. y  x  =  { y } 
<->  E. y { z }  =  { y } ) )
1310, 12anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } )  <->  ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } ) ) )
149, 13spcev 2888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } ) )
153, 8, 14mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } )
16 eluniab 3855 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } ) )
1715, 16mpbir 200 . . . . . . 7  |-  z  e. 
U. { x  |  E. y  x  =  { y } }
1817, 22th 230 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  z  e.  _V )
1918eqriv 2293 . . . . 5  |-  U. {
x  |  E. y  x  =  { y } }  =  _V
2019eleq1i 2359 . . . 4  |-  ( U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V 
<->  _V  e.  _V )
211, 20mtbir 290 . . 3  |-  -.  U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V
22 uniexg 4533 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
2321, 22mto 167 . 2  |-  -.  {
x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V
24 df-nel 2462 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  <->  -.  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
2523, 24mpbir 200 1  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    e/ wnel 2460   _Vcvv 2801   {csn 3653   U.cuni 3843
This theorem is referenced by:  fiprc  6958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844
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