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Theorem snnex 4713
Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
snnex  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem snnex
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vprc 4341 . . . 4  |-  -.  _V  e.  _V
2 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
32snid 3841 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
{ z }
4 a9ev 1668 . . . . . . . . . 10  |-  E. y 
y  =  z
5 sneq 3825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  { z }  =  { y } )
65equcoms 1693 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  { z }  =  { y } )
74, 6eximii 1587 . . . . . . . . 9  |-  E. y { z }  =  { y }
8 snex 4405 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  _V
9 eleq2 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  {
z } ) )
10 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { z }  ->  ( x  =  { y }  <->  { z }  =  { y } ) )
1110exbidv 1636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( E. y  x  =  { y } 
<->  E. y { z }  =  { y } ) )
129, 11anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } )  <->  ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } ) ) )
138, 12spcev 3043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } ) )
143, 7, 13mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } )
15 eluniab 4027 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } ) )
1614, 15mpbir 201 . . . . . . 7  |-  z  e. 
U. { x  |  E. y  x  =  { y } }
1716, 22th 231 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  z  e.  _V )
1817eqriv 2433 . . . . 5  |-  U. {
x  |  E. y  x  =  { y } }  =  _V
1918eleq1i 2499 . . . 4  |-  ( U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V 
<->  _V  e.  _V )
201, 19mtbir 291 . . 3  |-  -.  U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V
21 uniexg 4706 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
2220, 21mto 169 . 2  |-  -.  {
x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V
2322nelir 2698 1  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    e/ wnel 2600   _Vcvv 2956   {csn 3814   U.cuni 4015
This theorem is referenced by:  fiprc  7188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-rex 2711  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-nul 3629  df-sn 3820  df-pr 3821  df-uni 4016
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