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Theorem soisoi 5825
Description: Infer isomorphism from one direction of an order proof for isomorphisms between strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
soisoi  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, S, y    x, H, y    x, A, y   
x, B, y

Proof of Theorem soisoi
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A -onto-> B )
2 fof 5451 . . . . 5  |-  ( H : A -onto-> B  ->  H : A --> B )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A
--> B )
4 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  R  Or  A )
5 sotrieq 4341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a  =  b  <->  -.  (
a R b  \/  b R a ) ) )
65con2bid 319 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( a R b  \/  b R a )  <->  -.  a  =  b ) )
74, 6sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a R b  \/  b R a )  <->  -.  a  =  b ) )
8 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
9 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
x R y  <->  a R
y ) )
10 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  ( H `  x )  =  ( H `  a ) )
1110breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  a ) S ( H `  y ) ) )
129, 11imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (
( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( a R y  ->  ( H `  a ) S ( H `  y ) ) ) )
13 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
a R y  <->  a R
b ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( H `  y )  =  ( H `  b ) )
1514breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1613, 15imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  (
( a R y  ->  ( H `  a ) S ( H `  y ) )  <->  ( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
1712, 16rspc2va 2891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1817ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
198, 18sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
20 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  ->  S  Po  B )
21 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  ->  H : A -onto-> B )
2221, 2syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  ->  H : A --> B )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b  e.  A )
24 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : A --> B  /\  b  e.  A )  ->  ( H `  b
)  e.  B )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( H `  b
)  e.  B )
26 poirr 4325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  ->  -.  ( H `  b
) S ( H `
 b ) )
27 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
2827notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  ( -.  ( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  -.  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
2926, 28syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
3020, 25, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
3130con2d 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
3219, 31syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
33 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  (
x R y  <->  b R
y ) )
34 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  ( H `  x )  =  ( H `  b ) )
3534breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  b ) S ( H `  y ) ) )
3633, 35imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( b R y  ->  ( H `  b ) S ( H `  y ) ) ) )
37 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
b R y  <->  b R
a ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  a  ->  ( H `  y )  =  ( H `  a ) )
3938breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
( H `  b
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4037, 39imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  (
( b R y  ->  ( H `  b ) S ( H `  y ) )  <->  ( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) ) )
4136, 40rspc2va 2891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  a  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4241ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  /\  ( b  e.  A  /\  a  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4342ancom2s 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
448, 43sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
45 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  b
) S ( H `
 a )  <->  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
4645notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  ( -.  ( H `  b
) S ( H `
 a )  <->  -.  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
4726, 46syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4820, 25, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4948con2d 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  b ) S ( H `  a )  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
5044, 49syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
5132, 50jaod 369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a R b  \/  b R a )  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
527, 51sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( -.  a  =  b  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
5352con4d 97 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  a  =  b ) )
5453ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  a  =  b ) )
55 dff13 5783 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-> B  <->  ( H : A --> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  (
( H `  a
)  =  ( H `
 b )  -> 
a  =  b ) ) )
563, 54, 55sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A -1-1-> B )
57 df-f1o 5262 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  <->  ( H : A -1-1-> B  /\  H : A -onto-> B ) )
5856, 1, 57sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A
-1-1-onto-> B )
59 sotric 4340 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  <->  -.  (
a  =  b  \/  b R a ) ) )
6059con2bid 319 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( a  =  b  \/  b R a )  <->  -.  a R
b ) )
614, 60sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a  =  b  \/  b R a )  <->  -.  a R b ) )
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( H `  a )  =  ( H `  b ) )
6362breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
6463notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  ( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  -.  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
6526, 64syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  -> 
( a  =  b  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
6620, 25, 65syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a  =  b  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
67 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
a  e.  A )
68 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  a  e.  A )  ->  ( H `  a
)  e.  B )
6922, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( H `  a
)  e.  B )
70 po2nr 4327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  a
)  e.  B ) )  ->  -.  (
( H `  b
) S ( H `
 a )  /\  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
71 imnan 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  b
) S ( H `
 a )  ->  -.  ( H `  a
) S ( H `
 b ) )  <->  -.  ( ( H `  b ) S ( H `  a )  /\  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7270, 71sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  a
)  e.  B ) )  ->  ( ( H `  b ) S ( H `  a )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7320, 25, 69, 72syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  b ) S ( H `  a )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7444, 73syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7566, 74jaod 369 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a  =  b  \/  b R a )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7661, 75sylbird 226 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( -.  a R b  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7719, 76impcon4bid 196 . . 3  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) )
7877ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
79 df-isom 5264 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
8058, 78, 79sylanbrc 645 1  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023    Po wpo 4312    Or wor 4313   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7240  cantnf  7395  fin23lem27  7954  iccpnfhmeo  18443  xrhmeo  18444  logccv  20010  xrge0iifiso  23317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264
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