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Theorem soisores 6039
Description: Express the condition of isomorphism on two strict orders for a function's restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
soisores  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem soisores
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isorel 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y ) ) )
2 fvres 5737 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
3 fvres 5737 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
42, 3breqan12d 4219 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
54adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
61, 5bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )
76biimpd 199 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
87ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
9 ffn 5583 . . . . . . . 8  |-  ( F : B --> C  ->  F  Fn  B )
109ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  F  Fn  B )
11 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  A  C_  B )
12 fnssres 5550 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  C_  B )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
14133adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Fn  A
)
15 df-ima 4883 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
1615eqcomi 2439 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A
)
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A ) )
18 fvres 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
19 fvres 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
2018, 19eqeqan12d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2120adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
22 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  A )
23 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
24 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
25 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x R y  <->  z R
y ) )
26 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
2726breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) )
2825, 27imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) ) )
29 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
z R y  <->  z R w ) )
30 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
3130breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3229, 31imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) ) )
3328, 32rspc2va 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3422, 23, 24, 33syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
35 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
3736breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) )
3835, 37imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) ) )
39 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w R y  <->  w R
z ) )
40 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
4140breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4239, 41imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
4338, 42rspc2va 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4423, 22, 24, 43syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4534, 44orim12d 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z R w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
4645con3d 127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
47 simpl1r 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  S  Or  C )
48 simpl2l 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  F : B --> C )
49 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A  C_  B )
5049, 22sseldd 3341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
5148, 50ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  z
)  e.  C )
5249, 23sseldd 3341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  B )
5348, 52ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  C )
54 sotrieq 4522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
5547, 51, 53, 54syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
56 simpl1l 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  R  Or  B )
57 sotrieq 4522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  =  w  <->  -.  (
z R w  \/  w R z ) ) )
5856, 50, 52, 57syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  <->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
5946, 55, 583imtr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
6021, 59sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  ->  z  =  w ) )
6160ralrimivva 2790 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( ( F  |`  A ) `  w
)  ->  z  =  w ) )
62 dff1o6 6005 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
)  <->  ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  z )  =  ( ( F  |`  A ) `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
6314, 17, 61, 62syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
64 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
6665, 44orim12d 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
6766con3d 127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
68 sotric 4521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
6947, 51, 53, 68syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
70 sotric 4521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z R w  <->  -.  (
z  =  w  \/  w R z ) ) )
7156, 50, 52, 70syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
7267, 69, 713imtr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  ->  z R w ) )
7334, 72impbid 184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( F `  z
) S ( F `
 w ) ) )
7418, 19breqan12d 4219 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7574adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7673, 75bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
7776ralrimivva 2790 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
78 df-isom 5455 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z ) S ( ( F  |`  A ) `
 w ) ) ) )
7963, 77, 78sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) )
80793expia 1155 . 2  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) ) )
818, 80impbid2 196 1  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    Or wor 4494   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    Isom wiso 5447
This theorem is referenced by:  isercolllem1  12448  dvgt0lem2  19877  erdszelem4  24870  erdszelem8  24874  erdsze2lem2  24880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455
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