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Theorem soisores 5824
Description: Express the condition of isomorphism on two strict orders for a function's restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
soisores  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem soisores
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isorel 5823 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y ) ) )
2 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
3 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
42, 3breqan12d 4038 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
54adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
61, 5bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )
76biimpd 198 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
87ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
9 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : B --> C  ->  F  Fn  B )
109ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  F  Fn  B )
11 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  A  C_  B )
12 fnssres 5357 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  C_  B )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
14133adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Fn  A
)
15 df-ima 4702 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
1615eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A
)
1716a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A ) )
18 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
19 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
2018, 19eqeqan12d 2298 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
22 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  A )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
24 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
25 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x R y  <->  z R
y ) )
26 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
2726breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) )
2825, 27imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) ) )
29 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
z R y  <->  z R w ) )
30 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
3130breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3229, 31imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) ) )
3328, 32rspc2va 2891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3422, 23, 24, 33syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
35 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
3736breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) )
3835, 37imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) ) )
39 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w R y  <->  w R
z ) )
40 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
4140breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4239, 41imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
4338, 42rspc2va 2891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4423, 22, 24, 43syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4534, 44orim12d 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z R w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
4645con3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
47 simpl1r 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  S  Or  C )
48 simpl2l 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  F : B --> C )
49 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A  C_  B )
5049, 22sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
51 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : B --> C  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z
)  e.  C )
5248, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  z
)  e.  C )
5349, 23sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  B )
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : B --> C  /\  w  e.  B )  ->  ( F `  w
)  e.  C )
5548, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  C )
56 sotrieq 4341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
5747, 52, 55, 56syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
58 simpl1l 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  R  Or  B )
59 sotrieq 4341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  =  w  <->  -.  (
z R w  \/  w R z ) ) )
6058, 50, 53, 59syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  <->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
6146, 57, 603imtr4d 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
6221, 61sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  ->  z  =  w ) )
6362ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( ( F  |`  A ) `  w
)  ->  z  =  w ) )
64 dff1o6 5791 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
)  <->  ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  z )  =  ( ( F  |`  A ) `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
6514, 17, 63, 64syl3anbrc 1136 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
66 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
6766a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
6867, 44orim12d 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
6968con3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
70 sotric 4340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
7147, 52, 55, 70syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
72 sotric 4340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z R w  <->  -.  (
z  =  w  \/  w R z ) ) )
7358, 50, 53, 72syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
7469, 71, 733imtr4d 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  ->  z R w ) )
7534, 74impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( F `  z
) S ( F `
 w ) ) )
7618, 19breqan12d 4038 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7776adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7875, 77bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
7978ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
80 df-isom 5264 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z ) S ( ( F  |`  A ) `
 w ) ) ) )
8165, 79, 80sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) )
82813expia 1153 . 2  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) ) )
838, 82impbid2 195 1  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    Or wor 4313   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256
This theorem is referenced by:  isercolllem1  12138  dvgt0lem2  19350  erdszelem4  23725  erdszelem8  23729  erdsze2lem2  23735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264
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