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Theorem somo 4348
Description: A totally ordered set has at most one minimal element. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
somo  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A A. y  e.  A  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y

Proof of Theorem somo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R z  <->  x R
z ) )
21notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  y R z  <->  -.  x R z ) )
32rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R z  ->  -.  x R z ) )
4 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
54notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  z R x ) )
65rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  ->  -.  z R x ) )
73, 6im2anan9 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R z  /\  A. y  e.  A  -.  y R x )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
87ancomsd 440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
98imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
10 ioran 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  <->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
11 solin 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
12 df-3or 935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x ) )
13 or32 513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x )  <->  ( (
x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1412, 13bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1511, 14sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1615ord 366 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  ->  x  =  z ) )
1710, 16syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( -.  x R z  /\  -.  z R x )  ->  x  =  z )
)
189, 17syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  x  =  z ) )
1918exp4b 590 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) ) )
2019pm2.43d 44 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) )
2120ralrimivv 2634 . 2  |-  ( R  Or  A  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
22 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
2322notbid 285 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R z ) )
2423ralbidv 2563 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  -.  y R z ) )
2524rmo4 2958 . 2  |-  ( E* x  e.  A A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
2621, 25sylibr 203 1  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A A. y  e.  A  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    e. wcel 1684   A.wral 2543   E*wrmo 2546   class class class wbr 4023    Or wor 4313
This theorem is referenced by:  wereu  4389  wereu2  4390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-so 4315
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