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Theorem somo 4364
Description: A totally ordered set has at most one minimal element. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
somo  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A A. y  e.  A  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y

Proof of Theorem somo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R z  <->  x R
z ) )
21notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  y R z  <->  -.  x R z ) )
32rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R z  ->  -.  x R z ) )
4 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
54notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  z R x ) )
65rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  ->  -.  z R x ) )
73, 6im2anan9 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R z  /\  A. y  e.  A  -.  y R x )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
87ancomsd 440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
98imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
10 ioran 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  <->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
11 solin 4353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
12 df-3or 935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x ) )
13 or32 513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x )  <->  ( (
x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1412, 13bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1511, 14sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1615ord 366 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  ->  x  =  z ) )
1710, 16syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( -.  x R z  /\  -.  z R x )  ->  x  =  z )
)
189, 17syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  x  =  z ) )
1918exp4b 590 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) ) )
2019pm2.43d 44 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) )
2120ralrimivv 2647 . 2  |-  ( R  Or  A  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
22 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
2322notbid 285 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R z ) )
2423ralbidv 2576 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  -.  y R z ) )
2524rmo4 2971 . 2  |-  ( E* x  e.  A A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
2621, 25sylibr 203 1  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A A. y  e.  A  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    e. wcel 1696   A.wral 2556   E*wrmo 2559   class class class wbr 4039    Or wor 4329
This theorem is referenced by:  wereu  4405  wereu2  4406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-so 4331
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