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Theorem sornom 8159
Description: The range of a single-step monotone function from  om into a partially ordered set is a chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sornom  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  R  Or  ran  F )
Distinct variable groups:    F, a    R, a

Proof of Theorem sornom
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 960 . 2  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  R  Po  ran  F )
2 fvelrnb 5776 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  om  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. d  e.  om  ( F `  d )  =  b ) )
3 fvelrnb 5776 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  om  ->  (
c  e.  ran  F  <->  E. e  e.  om  ( F `  e )  =  c ) )
42, 3anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( F  Fn  om  ->  (
( b  e.  ran  F  /\  c  e.  ran  F )  <->  ( E. d  e.  om  ( F `  d )  =  b  /\  E. e  e. 
om  ( F `  e )  =  c ) ) )
543ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( b  e.  ran  F  /\  c  e.  ran  F )  <->  ( E. d  e.  om  ( F `  d )  =  b  /\  E. e  e. 
om  ( F `  e )  =  c ) ) )
6 reeanv 2877 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  om  E. e  e.  om  (
( F `  d
)  =  b  /\  ( F `  e )  =  c )  <->  ( E. d  e.  om  ( F `  d )  =  b  /\  E. e  e.  om  ( F `  e )  =  c ) )
7 nnord 4855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  om  ->  Ord  d )
8 nnord 4855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  om  ->  Ord  e )
9 ordtri2or2 4680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  d  /\  Ord  e )  ->  (
d  C_  e  \/  e  C_  d ) )
107, 8, 9syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  om  /\  e  e.  om )  ->  ( d  C_  e  \/  e  C_  d ) )
1110adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) )  ->  (
d  C_  e  \/  e  C_  d ) )
12 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
_V
13 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  e  e. 
_V
14 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  d  ->  (
b  e.  om  <->  d  e.  om ) )
15 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  e  ->  (
c  e.  om  <->  e  e.  om ) )
1614, 15bi2anan9 845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( ( b  e. 
om  /\  c  e.  om )  <->  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) ) )
1716anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
b  e.  om  /\  c  e.  om )
)  <->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
d  e.  om  /\  e  e.  om )
) ) )
18 sseq12 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( b  C_  c  <->  d 
C_  e ) )
19 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
20 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  e  ->  ( F `  c )  =  ( F `  e ) )
2119, 20breqan12d 4229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  c )  <-> 
( F `  d
) R ( F `
 e ) ) )
2219, 20eqeqan12d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  c )  <-> 
( F `  d
)  =  ( F `
 e ) ) )
2321, 22orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( ( ( F `
 b ) R ( F `  c
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  c
) )  <->  ( ( F `  d ) R ( F `  e )  \/  ( F `  d )  =  ( F `  e ) ) ) )
2418, 23imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( ( b  C_  c  ->  ( ( F `
 b ) R ( F `  c
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  c
) ) )  <->  ( d  C_  e  ->  ( ( F `  d ) R ( F `  e )  \/  ( F `  d )  =  ( F `  e ) ) ) ) )
2517, 24imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  =  d  /\  c  =  e )  ->  ( ( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
b  e.  om  /\  c  e.  om )
)  ->  ( b  C_  c  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  c )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  c ) ) ) )  <->  ( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
d  e.  om  /\  e  e.  om )
)  ->  ( d  C_  e  ->  ( ( F `  d ) R ( F `  e )  \/  ( F `  d )  =  ( F `  e ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  b  ->  ( F `  d )  =  ( F `  b ) )
2726breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  b  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 d )  <->  ( F `  b ) R ( F `  b ) ) )
2826eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  b  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 d )  <->  ( F `  b )  =  ( F `  b ) ) )
2927, 28orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  b  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  d )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 b ) R ( F `  b
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  b
) ) ) )
3029imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  b  ->  (
( ( F  Fn  om 
/\  A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  ->  ( ( F `
 b ) R ( F `  d
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) ) )  <->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 b )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 b ) ) ) ) )
31 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  e  ->  ( F `  d )  =  ( F `  e ) )
3231breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  e  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 d )  <->  ( F `  b ) R ( F `  e ) ) )
3331eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  e  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 d )  <->  ( F `  b )  =  ( F `  e ) ) )
3432, 33orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  d )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 b ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  e
) ) ) )
3534imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( F  Fn  om 
/\  A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  ->  ( ( F `
 b ) R ( F `  d
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) ) )  <->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 e ) ) ) ) )
36 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  suc  e  -> 
( F `  d
)  =  ( F `
 suc  e )
)
3736breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  suc  e  -> 
( ( F `  b ) R ( F `  d )  <-> 
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )
) )
3836eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  suc  e  -> 
( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
( F `  b
)  =  ( F `
 suc  e )
) )
3937, 38orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  suc  e  -> 
( ( ( F `
 b ) R ( F `  d
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) )  <->  ( ( F `  b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
4039imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  suc  e  -> 
( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 d )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 d ) ) )  <->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 suc  e )
) ) ) )
41 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  c  ->  ( F `  d )  =  ( F `  c ) )
4241breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  c  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 d )  <->  ( F `  b ) R ( F `  c ) ) )
4341eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  c  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 d )  <->  ( F `  b )  =  ( F `  c ) ) )
4442, 43orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  c  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  d )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 b ) R ( F `  c
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  c
) ) ) )
4544imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  c  ->  (
( ( F  Fn  om 
/\  A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  ->  ( ( F `
 b ) R ( F `  d
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) ) )  <->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 c )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 c ) ) ) ) )
46 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 b )  =  ( F `  b
)
4746olci 382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  b ) R ( F `  b )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  b ) )
4847a1ii 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  om  ->  (
( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  ->  ( ( F `
 b ) R ( F `  b
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  b
) ) ) )
49 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F ) )  -> 
e  e.  om )
50 simpr2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) ) )
51 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  e  ->  ( F `  a )  =  ( F `  e ) )
52 suceq 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  e  ->  suc  a  =  suc  e )
5352fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  e  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  suc  e ) )
5451, 53breq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  e  ->  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  <->  ( F `  e ) R ( F `  suc  e ) ) )
5551, 53eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  e  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )  <->  ( F `  e )  =  ( F `  suc  e ) ) )
5654, 55orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  <->  ( ( F `  e ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
5756rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e  e.  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
) )  ->  (
( F `  e
) R ( F `
 suc  e )  \/  ( F `  e
)  =  ( F `
 suc  e )
) )
5849, 50, 57syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F ) )  -> 
( ( F `  e ) R ( F `  suc  e
)  \/  ( F `
 e )  =  ( F `  suc  e ) ) )
59 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  R  Po  ran  F )
60 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  F  Fn  om )
61 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  b  e.  om )
62 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F  Fn  om  /\  b  e.  om )  ->  ( F `  b
)  e.  ran  F
)
6360, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  ( F `  b )  e.  ran  F )
64 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  e  e.  om )
65 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F  Fn  om  /\  e  e.  om )  ->  ( F `  e
)  e.  ran  F
)
6660, 64, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  ( F `  e )  e.  ran  F )
67 peano2 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( e  e.  om  ->  suc  e  e.  om )
6867ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  suc  e  e.  om )
69 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F  Fn  om  /\  suc  e  e.  om )  ->  ( F `  suc  e )  e.  ran  F )
7060, 68, 69syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  ( F `  suc  e )  e.  ran  F )
71 potr 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( R  Po  ran  F  /\  ( ( F `  b )  e.  ran  F  /\  ( F `  e )  e.  ran  F  /\  ( F `  suc  e )  e.  ran  F ) )  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  e )  /\  ( F `  e ) R ( F `  suc  e
) )  ->  ( F `  b ) R ( F `  suc  e ) ) )
7259, 63, 66, 70, 71syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  ( ( ( F `  b ) R ( F `  e )  /\  ( F `  e ) R ( F `  suc  e ) )  -> 
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )
) )
7372imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  /\  ( ( F `
 b ) R ( F `  e
)  /\  ( F `  e ) R ( F `  suc  e
) ) )  -> 
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )
)
7473ancom2s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  /\  ( ( F `
 e ) R ( F `  suc  e )  /\  ( F `  b ) R ( F `  e ) ) )  ->  ( F `  b ) R ( F `  suc  e
) )
7574orcd 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  /\  ( ( F `
 e ) R ( F `  suc  e )  /\  ( F `  b ) R ( F `  e ) ) )  ->  ( ( F `
 b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) )
7675expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  /\  ( F `  e ) R ( F `  suc  e
) )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 e )  -> 
( ( F `  b ) R ( F `  suc  e
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
77 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  b )  =  ( F `  e )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )  <->  ( F `  e ) R ( F `  suc  e ) ) )
7877biimprcd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  e ) R ( F `  suc  e )  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 e )  -> 
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )
) )
79 orc 376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  b ) R ( F `  suc  e )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 suc  e )
) )
8078, 79syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  e ) R ( F `  suc  e )  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 e )  -> 
( ( F `  b ) R ( F `  suc  e
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
8180adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  /\  ( F `  e ) R ( F `  suc  e
) )  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 e )  -> 
( ( F `  b ) R ( F `  suc  e
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
8276, 81jaod 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  /\  ( F `  e ) R ( F `  suc  e
) )  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  e ) )  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
8382ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  ( ( F `
 e ) R ( F `  suc  e )  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  e ) )  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) ) )
84 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  e )  =  ( F `  suc  e )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 e )  <->  ( F `  b ) R ( F `  suc  e
) ) )
85 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  e )  =  ( F `  suc  e )  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 e )  <->  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e
) ) )
8684, 85orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  e )  =  ( F `  suc  e )  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  e ) )  <->  ( ( F `
 b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
8786biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  e )  =  ( F `  suc  e )  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  e ) )  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) )
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  ( ( F `
 e )  =  ( F `  suc  e )  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  e ) )  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) ) )
8983, 88jaod 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  R  Po  ran  F ) )  ->  ( ( ( F `  e ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  suc  e ) )  -> 
( ( ( F `
 b ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  e
) )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 suc  e )
) ) ) )
90893adantr2 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F ) )  -> 
( ( ( F `
 e ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  suc  e ) )  -> 
( ( ( F `
 b ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  e
) )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 suc  e )
) ) ) )
9158, 90mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( e  e. 
om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  /\  ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F ) )  -> 
( ( ( F `
 b ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  e
) )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 suc  e )
) ) )
9291ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  ->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( ( F `  b ) R ( F `  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  e ) )  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  suc  e )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  suc  e ) ) ) ) )
9392a2d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  e )  ->  ( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 e ) ) )  ->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 suc  e )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 suc  e )
) ) ) )
9430, 35, 40, 45, 48, 93findsg 4874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  c )  ->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 c )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 c ) ) ) )
9594ancom1s 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  c  e.  om )  /\  b  C_  c )  ->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( F `  b
) R ( F `
 c )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 c ) ) ) )
9695impcom 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  om )  /\  b  C_  c ) )  -> 
( ( F `  b ) R ( F `  c )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  c ) ) )
9796expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( b  e. 
om  /\  c  e.  om ) )  ->  (
b  C_  c  ->  ( ( F `  b
) R ( F `
 c )  \/  ( F `  b
)  =  ( F `
 c ) ) ) )
9812, 13, 25, 97vtocl2 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) )  ->  (
d  C_  e  ->  ( ( F `  d
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  d
)  =  ( F `
 e ) ) ) )
99 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  e  ->  (
b  e.  om  <->  e  e.  om ) )
100 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  d  ->  (
c  e.  om  <->  d  e.  om ) )
10199, 100bi2anan9 845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( ( b  e. 
om  /\  c  e.  om )  <->  ( e  e. 
om  /\  d  e.  om ) ) )
102101anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
b  e.  om  /\  c  e.  om )
)  <->  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  om )
) ) )
103 sseq12 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( b  C_  c  <->  e 
C_  d ) )
104 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  e  ->  ( F `  b )  =  ( F `  e ) )
105 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  d  ->  ( F `  c )  =  ( F `  d ) )
106104, 105breqan12d 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  c )  <-> 
( F `  e
) R ( F `
 d ) ) )
107104, 105eqeqan12d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  c )  <-> 
( F `  e
)  =  ( F `
 d ) ) )
108106, 107orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( ( ( F `
 b ) R ( F `  c
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  c
) )  <->  ( ( F `  e ) R ( F `  d )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  d ) ) ) )
109103, 108imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( ( b  C_  c  ->  ( ( F `
 b ) R ( F `  c
)  \/  ( F `
 b )  =  ( F `  c
) ) )  <->  ( e  C_  d  ->  ( ( F `  e ) R ( F `  d )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  d ) ) ) ) )
110102, 109imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =  e  /\  c  =  d )  ->  ( ( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
b  e.  om  /\  c  e.  om )
)  ->  ( b  C_  c  ->  ( ( F `  b ) R ( F `  c )  \/  ( F `  b )  =  ( F `  c ) ) ) )  <->  ( ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  om )
)  ->  ( e  C_  d  ->  ( ( F `  e ) R ( F `  d )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  d ) ) ) ) ) )
11113, 12, 110, 97vtocl2 3009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( e  e. 
om  /\  d  e.  om ) )  ->  (
e  C_  d  ->  ( ( F `  e
) R ( F `
 d )  \/  ( F `  e
)  =  ( F `
 d ) ) ) )
112111ancom2s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) )  ->  (
e  C_  d  ->  ( ( F `  e
) R ( F `
 d )  \/  ( F `  e
)  =  ( F `
 d ) ) ) )
11398, 112orim12d 813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) )  ->  (
( d  C_  e  \/  e  C_  d )  ->  ( ( ( F `  d ) R ( F `  e )  \/  ( F `  d )  =  ( F `  e ) )  \/  ( ( F `  e ) R ( F `  d )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  d ) ) ) ) )
11411, 113mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) )  ->  (
( ( F `  d ) R ( F `  e )  \/  ( F `  d )  =  ( F `  e ) )  \/  ( ( F `  e ) R ( F `  d )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  d ) ) ) )
115 3mix1 1127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  d ) R ( F `  e )  ->  (
( F `  d
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  d
)  =  ( F `
 e )  \/  ( F `  e
) R ( F `
 d ) ) )
116 3mix2 1128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  d )  =  ( F `  e )  ->  (
( F `  d
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  d
)  =  ( F `
 e )  \/  ( F `  e
) R ( F `
 d ) ) )
117115, 116jaoi 370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  d
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  d
)  =  ( F `
 e ) )  ->  ( ( F `
 d ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 d )  =  ( F `  e
)  \/  ( F `
 e ) R ( F `  d
) ) )
118 3mix3 1129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  e ) R ( F `  d )  ->  (
( F `  d
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  d
)  =  ( F `
 e )  \/  ( F `  e
) R ( F `
 d ) ) )
119116eqcoms 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  e )  =  ( F `  d )  ->  (
( F `  d
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  d
)  =  ( F `
 e )  \/  ( F `  e
) R ( F `
 d ) ) )
120118, 119jaoi 370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  e
) R ( F `
 d )  \/  ( F `  e
)  =  ( F `
 d ) )  ->  ( ( F `
 d ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 d )  =  ( F `  e
)  \/  ( F `
 e ) R ( F `  d
) ) )
121117, 120jaoi 370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  d ) R ( F `  e )  \/  ( F `  d )  =  ( F `  e ) )  \/  ( ( F `  e ) R ( F `  d )  \/  ( F `  e )  =  ( F `  d ) ) )  ->  ( ( F `
 d ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 d )  =  ( F `  e
)  \/  ( F `
 e ) R ( F `  d
) ) )
122114, 121syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) )  ->  (
( F `  d
) R ( F `
 e )  \/  ( F `  d
)  =  ( F `
 e )  \/  ( F `  e
) R ( F `
 d ) ) )
123 breq12 4219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  d
)  =  b  /\  ( F `  e )  =  c )  -> 
( ( F `  d ) R ( F `  e )  <-> 
b R c ) )
124 eqeq12 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  d
)  =  b  /\  ( F `  e )  =  c )  -> 
( ( F `  d )  =  ( F `  e )  <-> 
b  =  c ) )
125 breq12 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  e
)  =  c  /\  ( F `  d )  =  b )  -> 
( ( F `  e ) R ( F `  d )  <-> 
c R b ) )
126125ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  d
)  =  b  /\  ( F `  e )  =  c )  -> 
( ( F `  e ) R ( F `  d )  <-> 
c R b ) )
127123, 124, 1263orbi123d 1254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  d
)  =  b  /\  ( F `  e )  =  c )  -> 
( ( ( F `
 d ) R ( F `  e
)  \/  ( F `
 d )  =  ( F `  e
)  \/  ( F `
 e ) R ( F `  d
) )  <->  ( b R c  \/  b  =  c  \/  c R b ) ) )
128122, 127syl5ibcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  om  /\ 
A. a  e.  om  ( ( F `  a ) R ( F `  suc  a
)  \/  ( F `
 a )  =  ( F `  suc  a ) )  /\  R  Po  ran  F )  /\  ( d  e. 
om  /\  e  e.  om ) )  ->  (
( ( F `  d )  =  b  /\  ( F `  e )  =  c )  ->  ( b R c  \/  b  =  c  \/  c R b ) ) )
129128rexlimdvva 2839 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  ( E. d  e.  om  E. e  e.  om  (
( F `  d
)  =  b  /\  ( F `  e )  =  c )  -> 
( b R c  \/  b  =  c  \/  c R b ) ) )
1306, 129syl5bir 211 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( E. d  e. 
om  ( F `  d )  =  b  /\  E. e  e. 
om  ( F `  e )  =  c )  ->  ( b R c  \/  b  =  c  \/  c R b ) ) )
1315, 130sylbid 208 . . 3  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  (
( b  e.  ran  F  /\  c  e.  ran  F )  ->  ( b R c  \/  b  =  c  \/  c R b ) ) )
132131ralrimivv 2799 . 2  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  A. b  e.  ran  F A. c  e.  ran  F ( b R c  \/  b  =  c  \/  c R b ) )
133 df-so 4506 . 2  |-  ( R  Or  ran  F  <->  ( R  Po  ran  F  /\  A. b  e.  ran  F A. c  e.  ran  F ( b R c  \/  b  =  c  \/  c R b ) ) )
1341, 132, 133sylanbrc 647 1  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. a  e.  om  (
( F `  a
) R ( F `
 suc  a )  \/  ( F `  a
)  =  ( F `
 suc  a )
)  /\  R  Po  ran  F )  ->  R  Or  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    Po wpo 4503    Or wor 4504   Ord word 4582   suc csuc 4585   omcom 4847   ran crn 4881    Fn wfn 5451   ` cfv 5456
This theorem is referenced by:  fin23lem40  8233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-fv 5464
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