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Theorem sorpsscmpl 6533
Description: The componentwise complement of a chain of sets is also a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpsscmpl  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Distinct variable groups:    u, Y    u, A

Proof of Theorem sorpsscmpl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3459 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  x
) )
21eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  x )  e.  Y
) )
32elrab 3092 . . . . 5  |-  ( x  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y ) )
4 difeq2 3459 . . . . . . 7  |-  ( u  =  y  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  y
) )
54eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( u  =  y  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  y )  e.  Y
) )
65elrab 3092 . . . . 5  |-  ( y  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )
7 an4 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  <->  ( (
x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
87biimpi 187 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e. 
~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
93, 6, 8syl2anb 466 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A
)  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A 
\  y )  e.  Y ) ) )
10 sorpssi 6528 . . . . . . . 8  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
)  \/  ( A 
\  y )  C_  ( A  \  x
) ) )
1110expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( A 
\  x )  C_  ( A  \  y
)  \/  ( A 
\  y )  C_  ( A  \  x
) ) ) )
12 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
1312elpw 3805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
14 dfss4 3575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
1513, 14bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
16 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1716elpw 3805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
18 dfss4 3575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
1917, 18bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
20 sscon 3481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  y ) 
C_  ( A  \  x )  ->  ( A  \  ( A  \  x ) )  C_  ( A  \  ( A  \  y ) ) )
21 sseq12 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  x ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  y
) )  <->  x  C_  y
) )
2220, 21syl5ib 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  ->  x  C_  y ) )
23 sscon 3481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  x ) 
C_  ( A  \ 
y )  ->  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  C_  ( A  \  ( A  \  x ) ) )
24 sseq12 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  y ) )  =  y  /\  ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2524ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2623, 25syl5ib 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  ->  y  C_  x ) )
2722, 26orim12d 812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2815, 19, 27syl2anb 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2928com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3029orcoms 379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  \/  ( A  \  y )  C_  ( A  \  x
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3111, 30syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A
)  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3231com3l 77 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3332imp3a 421 . . . 4  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
349, 33syl5 30 . . 3  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3534ralrimivv 2797 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  A. x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
36 sorpss 6527 . 2  |-  ( [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } 
<-> 
A. x  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
3735, 36sylibr 204 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799    Or wor 4502   [ C.] crpss 6521
This theorem is referenced by:  fin2i2  8198  isfin2-2  8199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-rpss 6522
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