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Theorem sorpsscmpl 6304
Description: The componentwise complement of a chain of sets is also a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpsscmpl  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Distinct variable groups:    u, Y    u, A

Proof of Theorem sorpsscmpl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3301 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  x
) )
21eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  x )  e.  Y
) )
32elrab 2936 . . . . 5  |-  ( x  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y ) )
4 difeq2 3301 . . . . . . 7  |-  ( u  =  y  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  y
) )
54eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( u  =  y  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  y )  e.  Y
) )
65elrab 2936 . . . . 5  |-  ( y  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )
7 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  <->  ( (
x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
87biimpi 186 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e. 
~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
93, 6, 8syl2anb 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A
)  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A 
\  y )  e.  Y ) ) )
10 sorpssi 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
)  \/  ( A 
\  y )  C_  ( A  \  x
) ) )
1110expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( A 
\  x )  C_  ( A  \  y
)  \/  ( A 
\  y )  C_  ( A  \  x
) ) ) )
12 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
1312elpw 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
14 dfss4 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
1513, 14bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
16 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1716elpw 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
18 dfss4 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
1917, 18bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
20 sscon 3323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  y ) 
C_  ( A  \  x )  ->  ( A  \  ( A  \  x ) )  C_  ( A  \  ( A  \  y ) ) )
21 sseq12 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  x ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  y
) )  <->  x  C_  y
) )
2220, 21syl5ib 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  ->  x  C_  y ) )
23 sscon 3323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  x ) 
C_  ( A  \ 
y )  ->  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  C_  ( A  \  ( A  \  x ) ) )
24 sseq12 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  y ) )  =  y  /\  ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2524ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2623, 25syl5ib 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  ->  y  C_  x ) )
2722, 26orim12d 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2815, 19, 27syl2anb 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2928com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3029orcoms 378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  \/  ( A  \  y )  C_  ( A  \  x
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3111, 30syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A
)  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3231com3l 75 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3332imp3a 420 . . . 4  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
349, 33syl5 28 . . 3  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3534ralrimivv 2647 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  A. x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
36 sorpss 6298 . 2  |-  ( [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } 
<-> 
A. x  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
3735, 36sylibr 203 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    Or wor 4329   [ C.] crpss 6292
This theorem is referenced by:  fin2i2  7960  isfin2-2  7961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-rpss 6293
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