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Theorem sorpssint 6287
Description: In a chain of sets, a minimal element is the intersection of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpssint  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  <->  |^| Y  e.  Y ) )
Distinct variable group:    u, Y, v

Proof of Theorem sorpssint
StepHypRef Expression
1 intss1 3877 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Y  ->  |^| Y  C_  u )
213ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  |^| Y  C_  u )
3 sorpssi 6283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
43anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
5 ax-1 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  v  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
6 sspss 3275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  u  <->  ( v  C.  u  \/  v  =  u ) )
7 orel1 371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  v  C.  u  -> 
( ( v  C.  u  \/  v  =  u )  ->  v  =  u ) )
8 eqimss2 3231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  u  ->  u  C_  v )
97, 8syl6com 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  C.  u  \/  v  =  u )  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
106, 9sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( v 
C_  u  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
115, 10jaoi 368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  C_  v  \/  v  C_  u )  -> 
( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v
) )
124, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
1312ralimdva 2621 . . . . . . 7  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  ->  A. v  e.  Y  u  C_  v ) )
14133impia 1148 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  A. v  e.  Y  u  C_  v )
15 ssint 3878 . . . . . 6  |-  ( u 
C_  |^| Y  <->  A. v  e.  Y  u  C_  v
)
1614, 15sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  u  C_  |^| Y )
172, 16eqssd 3196 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  |^| Y  =  u )
18 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  u  e.  Y )
1917, 18eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  |^| Y  e.  Y )
2019rexlimdv3a 2669 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  ->  |^| Y  e.  Y ) )
21 intss1 3877 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  ->  |^| Y  C_  v )
22 ssnpss 3279 . . . . 5  |-  ( |^| Y  C_  v  ->  -.  v  C.  |^| Y )
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( v  e.  Y  ->  -.  v  C.  |^| Y )
2423rgen 2608 . . 3  |-  A. v  e.  Y  -.  v  C.  |^| Y
25 psseq2 3264 . . . . . 6  |-  ( u  =  |^| Y  -> 
( v  C.  u  <->  v 
C.  |^| Y ) )
2625notbid 285 . . . . 5  |-  ( u  =  |^| Y  -> 
( -.  v  C.  u 
<->  -.  v  C.  |^| Y ) )
2726ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( u  =  |^| Y  -> 
( A. v  e.  Y  -.  v  C.  u 
<-> 
A. v  e.  Y  -.  v  C.  |^| Y
) )
2827rspcev 2884 . . 3  |-  ( (
|^| Y  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  |^| Y
)  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )
2924, 28mpan2 652 . 2  |-  ( |^| Y  e.  Y  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )
3020, 29impbid1 194 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  <->  |^| Y  e.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152    C. wpss 3153   |^|cint 3862    Or wor 4313   [ C.] crpss 6276
This theorem is referenced by:  fin2i2  7944  isfin2-2  7945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-rpss 6277
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