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Theorem sorpssint 6470
Description: In a chain of sets, a minimal element is the intersection of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpssint  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  <->  |^| Y  e.  Y ) )
Distinct variable group:    u, Y, v

Proof of Theorem sorpssint
StepHypRef Expression
1 intss1 4009 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Y  ->  |^| Y  C_  u )
213ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  |^| Y  C_  u )
3 sorpssi 6466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
43anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
5 ax-1 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  v  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
6 sspss 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  u  <->  ( v  C.  u  \/  v  =  u ) )
7 orel1 372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  v  C.  u  -> 
( ( v  C.  u  \/  v  =  u )  ->  v  =  u ) )
8 eqimss2 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  u  ->  u  C_  v )
97, 8syl6com 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  C.  u  \/  v  =  u )  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
106, 9sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( v 
C_  u  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
115, 10jaoi 369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  C_  v  \/  v  C_  u )  -> 
( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v
) )
124, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  ( -.  v  C.  u  ->  u  C_  v ) )
1312ralimdva 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  ->  A. v  e.  Y  u  C_  v ) )
14133impia 1150 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  A. v  e.  Y  u  C_  v )
15 ssint 4010 . . . . . 6  |-  ( u 
C_  |^| Y  <->  A. v  e.  Y  u  C_  v
)
1614, 15sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  u  C_  |^| Y )
172, 16eqssd 3310 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  |^| Y  =  u )
18 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  u  e.  Y )
1917, 18eqeltrd 2463 . . 3  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )  ->  |^| Y  e.  Y )
2019rexlimdv3a 2777 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  ->  |^| Y  e.  Y ) )
21 intss1 4009 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  ->  |^| Y  C_  v )
22 ssnpss 3395 . . . . 5  |-  ( |^| Y  C_  v  ->  -.  v  C.  |^| Y )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( v  e.  Y  ->  -.  v  C.  |^| Y )
2423rgen 2716 . . 3  |-  A. v  e.  Y  -.  v  C.  |^| Y
25 psseq2 3380 . . . . . 6  |-  ( u  =  |^| Y  -> 
( v  C.  u  <->  v 
C.  |^| Y ) )
2625notbid 286 . . . . 5  |-  ( u  =  |^| Y  -> 
( -.  v  C.  u 
<->  -.  v  C.  |^| Y ) )
2726ralbidv 2671 . . . 4  |-  ( u  =  |^| Y  -> 
( A. v  e.  Y  -.  v  C.  u 
<-> 
A. v  e.  Y  -.  v  C.  |^| Y
) )
2827rspcev 2997 . . 3  |-  ( (
|^| Y  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  v  C.  |^| Y
)  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )
2924, 28mpan2 653 . 2  |-  ( |^| Y  e.  Y  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u )
3020, 29impbid1 195 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  v  C.  u  <->  |^| Y  e.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265    C. wpss 3266   |^|cint 3994    Or wor 4445   [ C.] crpss 6459
This theorem is referenced by:  fin2i2  8133  isfin2-2  8134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-int 3995  df-br 4156  df-opab 4210  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-rpss 6460
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