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Theorem soseq 24254
Description: A linear ordering of sequences of ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
soseq.1  |-  R  Or  ( A  u.  { (/) } )
soseq.2  |-  F  =  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }
soseq.3  |-  S  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) ) }
soseq.4  |-  -.  (/)  e.  A
Assertion
Ref Expression
soseq  |-  S  Or  F
Distinct variable groups:    A, f, x, y    f, F, g, x    y, f, g, x    R, f, g, x
Allowed substitution hints:    A( g)    R( y)    S( x, y, f, g)    F( y)

Proof of Theorem soseq
Dummy variables  a 
b  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 soseq.1 . . . 4  |-  R  Or  ( A  u.  { (/) } )
2 sopo 4331 . . . 4  |-  ( R  Or  ( A  u.  {
(/) } )  ->  R  Po  ( A  u.  { (/)
} ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  R  Po  ( A  u.  { (/) } )
4 soseq.2 . . 3  |-  F  =  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }
5 soseq.3 . . 3  |-  S  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) ) }
63, 4, 5poseq 24253 . 2  |-  S  Po  F
7 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
f  e.  F  <->  a  e.  F ) )
87anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( f  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( a  e.  F  /\  g  e.  F ) ) )
9 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  y )  =  ( a `  y ) )
109eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( a `  y )  =  ( g `  y ) ) )
1110ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y ) ) )
12 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  x )  =  ( a `  x ) )
1312breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( a `  x ) R ( g `  x ) ) )
1411, 13anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( f `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( a `  x ) R ( g `  x ) ) ) )
1514rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) ) )
168, 15anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( a  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) ) ) )
17 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  b  ->  (
g  e.  F  <->  b  e.  F ) )
1817anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  b  ->  (
( a  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( a  e.  F  /\  b  e.  F ) ) )
19 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  b  ->  (
g `  y )  =  ( b `  y ) )
2019eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  b  ->  (
( a `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
2120ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  b  ->  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
22 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  b  ->  (
g `  x )  =  ( b `  x ) )
2322breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  b  ->  (
( a `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( a `  x ) R ( b `  x ) ) )
2421, 23anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  b  ->  (
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( a `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) ) ) )
2524rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  b  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) )
2618, 25anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  b  ->  (
( ( a  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) ) )
2716, 26, 5brabg 4284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  <-> 
( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) ) )
2827bianabs 850 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) )
29 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  b  ->  (
f  e.  F  <->  b  e.  F ) )
3029anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  b  ->  (
( f  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( b  e.  F  /\  g  e.  F ) ) )
31 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  b  ->  (
f `  y )  =  ( b `  y ) )
3231eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( b `  y )  =  ( g `  y ) ) )
3332ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y ) ) )
34 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
f `  x )  =  ( b `  x ) )
3534breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  (
( f `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( b `  x ) R ( g `  x ) ) )
3633, 35anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  b  ->  (
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( f `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( b `  x ) R ( g `  x ) ) ) )
3736rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  b  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) ) )
3830, 37anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  b  ->  (
( ( f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( b  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) ) ) )
39 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  a  ->  (
g  e.  F  <->  a  e.  F ) )
4039anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  a  ->  (
( b  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( b  e.  F  /\  a  e.  F ) ) )
41 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  y )  =  ( a `  y ) )
4241eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
( b `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( b `  y )  =  ( a `  y ) ) )
4342ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y ) ) )
44 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  x )  =  ( a `  x ) )
4544breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( b `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )
4643, 45anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  a  ->  (
( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( b `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
4746rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  a  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
4840, 47anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  a  ->  (
( ( b  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) ) )
4938, 48, 5brabg 4284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b S a  <-> 
( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) ) )
5049bianabs 850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b S a  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
5150ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( b S a  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
5228, 51orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a S b  \/  b S a )  <->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
5352notbid 285 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( a S b  \/  b S a )  <->  -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
54 ralinexa 2588 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  -.  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( ( a `
 x ) R ( b `  x
)  \/  ( b `
 x ) R ( a `  x
) ) ) )
55 andi 837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
56 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  y )  =  ( b `  y )  <->  ( b `  y )  =  ( a `  y ) )
5756ralbii 2567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y ) )
5857anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )
5958orbi2i 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <-> 
( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
b `  y )  =  ( a `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6055, 59bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6160rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  /\  (
a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
62 r19.43 2695 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  (
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
b `  y )  =  ( a `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <-> 
( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6361, 62bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6454, 63xchbinx 301 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
65 feq2 5376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f : x --> A  <->  f :
y --> A ) )
6665cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. y  e.  On  f : y --> A )
6766abbii 2395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }  =  {
f  |  E. y  e.  On  f : y --> A }
684, 67eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  { f  |  E. y  e.  On  f : y --> A }
6968orderseqlem 24252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  F  ->  (
a `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )
7068orderseqlem 24252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  F  ->  (
b `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )
71 sotrieq 4341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  ( A  u.  { (/) } )  /\  ( ( a `
 x )  e.  ( A  u.  { (/)
} )  /\  (
b `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )  ->  ( ( a `
 x )  =  ( b `  x
)  <->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
721, 71mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a `  x
)  e.  ( A  u.  { (/) } )  /\  ( b `  x )  e.  ( A  u.  { (/) } ) )  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  -.  (
( a `  x
) R ( b `
 x )  \/  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
7369, 70, 72syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
7473imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
7574ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  <->  A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
76 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
77 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
a `  x )  =  ( a `  y ) )
78 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
b `  x )  =  ( b `  y ) )
7977, 78eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
8076, 79sbcie 3025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. y  /  x ]. (
a `  x )  =  ( b `  x )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) )
8180ralbii 2567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `
 x )  =  ( b `  x
)  <->  A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y ) )
8281imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
8382ralbii 2567 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  <->  A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
84 tfisg 24204 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  ->  A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )
8583, 84sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  ->  A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )
86 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  a  e. 
_V
87 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  a  ->  (
f : x --> A  <->  a :
x --> A ) )
8887rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. x  e.  On  a : x --> A ) )
8986, 88, 4elab2 2917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  F  <->  E. x  e.  On  a : x --> A )
90 feq2 5376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  p  ->  (
a : x --> A  <->  a :
p --> A ) )
9190cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  On  a : x --> A  <->  E. p  e.  On  a : p --> A )
9289, 91bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  F  <->  E. p  e.  On  a : p --> A )
93 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  b  e. 
_V
94 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
f : x --> A  <->  b :
x --> A ) )
9594rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. x  e.  On  b : x --> A ) )
9693, 95, 4elab2 2917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  F  <->  E. x  e.  On  b : x --> A )
97 feq2 5376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  q  ->  (
b : x --> A  <->  b :
q --> A ) )
9897cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  On  b : x --> A  <->  E. q  e.  On  b : q --> A )
9996, 98bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  F  <->  E. q  e.  On  b : q --> A )
10092, 99anbi12i 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  <->  ( E. p  e.  On  a : p --> A  /\  E. q  e.  On  b : q --> A ) )
101 reeanv 2707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A )  <-> 
( E. p  e.  On  a : p --> A  /\  E. q  e.  On  b : q --> A ) )
102100, 101bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  <->  E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )
103 onss 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  On  ->  q  C_  On )
104 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q 
C_  On  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  ->  A. x  e.  q 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
106105ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
107 soseq.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  (/)  e.  A
108 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  p  ->  (
a `  x )  =  ( a `  p ) )
109 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  p  ->  (
b `  x )  =  ( b `  p ) )
110108, 109eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  p  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  p )  =  ( b `  p ) ) )
111110rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q 
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  p
)  =  ( b `
 p ) ) )
112111a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
a `  p )  =  ( b `  p ) ) ) )
113 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b : q --> A  /\  p  e.  q )  ->  ( b `  p )  e.  A
)
114 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a : p --> A  ->  dom  a  =  p
)
115 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( p  e.  On  ->  Ord  p )
116 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( Ord  p  ->  -.  p  e.  p )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( p  e.  On  ->  -.  p  e.  p )
118 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( dom  a  =  p  -> 
( p  e.  dom  a 
<->  p  e.  p ) )
119118notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( dom  a  =  p  -> 
( -.  p  e. 
dom  a  <->  -.  p  e.  p ) )
120119biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  p  e.  p  /\  dom  a  =  p )  ->  -.  p  e.  dom  a )
121117, 120sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  -.  p  e.  dom  a )
122 ndmfv 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( -.  p  e.  dom  a  ->  ( a `  p
)  =  (/) )
123 eqtr2 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( a `  p
)  =  (/)  /\  (
a `  p )  =  ( b `  p ) )  ->  (/)  =  ( b `  p ) )
124 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (/)  =  ( b `  p )  ->  ( (/) 
e.  A  <->  ( b `  p )  e.  A
) )
125124biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (/)  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) )
126123, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( a `  p
)  =  (/)  /\  (
a `  p )  =  ( b `  p ) )  -> 
( ( b `  p )  e.  A  -> 
(/)  e.  A )
)
127126ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( a `  p )  =  (/)  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
128121, 122, 1273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  ( (
a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
129128com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  ( (
b `  p )  e.  A  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
130114, 129sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( p  e.  On  /\  a : p --> A )  ->  ( ( b `
 p )  e.  A  ->  ( (
a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
131130adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  a : p --> A )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  -> 
( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A ) ) )
132113, 131syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  a : p --> A )  ->  (
( b : q --> A  /\  p  e.  q )  ->  (
( a `  p
)  =  ( b `
 p )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
133132exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( a : p --> A  ->  ( b : q --> A  -> 
( p  e.  q  ->  ( ( a `
 p )  =  ( b `  p
)  ->  (/)  e.  A
) ) ) ) )
134133imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
135112, 134syldd 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (/)  e.  A
) ) )
136135com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
p  e.  q  ->  (/) 
e.  A ) ) )
137136imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  ( p  e.  q  ->  (/)  e.  A
) )
138107, 137mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  -.  p  e.  q )
139138ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  p  e.  q )
)
140106, 139syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  p  e.  q )
)
141 onss 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  On  ->  p  C_  On )
142 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p 
C_  On  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
143141, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
144143ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
145 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  q  ->  (
a `  x )  =  ( a `  q ) )
146 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  q  ->  (
b `  x )  =  ( b `  q ) )
147145, 146eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  q  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  q )  =  ( b `  q ) ) )
148147rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  q
)  =  ( b `
 q ) ) )
149148a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
a `  q )  =  ( b `  q ) ) ) )
150 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a : p --> A  /\  q  e.  p )  ->  ( a `  q
)  e.  A )
151 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b : q --> A  ->  dom  b  =  q
)
152 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( q  e.  On  ->  Ord  q )
153 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( Ord  q  ->  -.  q  e.  q )
154152, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( q  e.  On  ->  -.  q  e.  q )
155 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( dom  b  =  q  -> 
( q  e.  dom  b 
<->  q  e.  q ) )
156155notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( dom  b  =  q  -> 
( -.  q  e. 
dom  b  <->  -.  q  e.  q ) )
157156biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( -.  q  e.  q  /\  dom  b  =  q )  ->  -.  q  e.  dom  b )
158 ndmfv 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( -.  q  e.  dom  b  ->  ( b `  q
)  =  (/) )
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  q  e.  q  /\  dom  b  =  q )  ->  (
b `  q )  =  (/) )
160154, 159sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( q  e.  On  /\  dom  b  =  q
)  ->  ( b `  q )  =  (/) )
161 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( a `  q
)  =  ( b `
 q )  /\  ( b `  q
)  =  (/) )  -> 
( a `  q
)  =  (/) )
162 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( a `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
163162biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( a `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  ->  (/)  e.  A
) )
164161, 163syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( a `  q
)  =  ( b `
 q )  /\  ( b `  q
)  =  (/) )  -> 
( ( a `  q )  e.  A  -> 
(/)  e.  A )
)
165164expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( b `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
166165com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  ->  (
( a `  q
)  =  ( b `
 q )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
167160, 166syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( q  e.  On  /\  dom  b  =  q
)  ->  ( (
a `  q )  e.  A  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A
) ) )
168167adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  dom  b  =  q )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  -> 
( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) )
169151, 168sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  b : q --> A )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  -> 
( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) )
170150, 169syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  b : q --> A )  ->  (
( a : p --> A  /\  q  e.  p )  ->  (
( a `  q
)  =  ( b `
 q )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
171170exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( b : q --> A  ->  ( a : p --> A  -> 
( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) ) ) )
172171com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( a : p --> A  ->  ( b : q --> A  -> 
( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) ) ) )
173172imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A
) ) )
174149, 173syldd 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (/)  e.  A
) ) )
175174com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
q  e.  p  ->  (/) 
e.  A ) ) )
176175imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  ( q  e.  p  ->  (/)  e.  A
) )
177107, 176mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  -.  q  e.  p )
178177ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  q  e.  p )
)
179144, 178syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  q  e.  p )
)
180140, 179jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  ( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p
) ) )
181 ordtri3or 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  p  /\  Ord  q )  ->  (
p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) )
182115, 152, 181syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p
) )
183182adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) )
184180, 183jctird 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p )  /\  (
p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) ) ) )
185 3orel13 24071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p )  ->  (
( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p
)  ->  p  =  q ) )
186185imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p )  /\  (
p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) )  ->  p  =  q )
187184, 186syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  p  =  q ) )
188187, 144jcad 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
189 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a : p --> A  -> 
a  Fn  p )
190 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b : q --> A  -> 
b  Fn  q )
191 eqfnfv2 5623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  Fn  p  /\  b  Fn  q )  ->  ( a  =  b  <-> 
( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
192189, 190, 191syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( a  =  b  <->  ( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
193192adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( a  =  b  <->  ( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
194188, 193sylibrd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
195194ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( ( a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) ) )
196195rexlimivv 2672 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
197102, 196sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
19885, 197syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  a  =  b ) )
19975, 198sylbird 226 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  ->  a  =  b ) )
20064, 199syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  ->  a  =  b ) )
20153, 200sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( a S b  \/  b S a )  -> 
a  =  b ) )
202201orrd 367 . . . 4  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b ) )
203 3orcomb 944 . . . . 5  |-  ( ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a )  <-> 
( a S b  \/  b S a  \/  a  =  b ) )
204 df-3or 935 . . . . 5  |-  ( ( a S b  \/  b S a  \/  a  =  b )  <-> 
( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b ) )
205203, 204bitr2i 241 . . . 4  |-  ( ( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b )  <->  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) )
206202, 205sylib 188 . . 3  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) )
207206rgen2a 2609 . 2  |-  A. a  e.  F  A. b  e.  F  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a )
208 df-so 4315 . 2  |-  ( S  Or  F  <->  ( S  Po  F  /\  A. a  e.  F  A. b  e.  F  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) ) )
2096, 207, 208mpbir2an 886 1  |-  S  Or  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   [.wsbc 2991    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   {copab 4076    Po wpo 4312    Or wor 4313   Ord word 4391   Oncon0 4392   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  sltso  24323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
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