HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spancl Structured version   Unicode version

Theorem spancl 22876
Description: The span of a subset of Hilbert space is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spancl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )

Proof of Theorem spancl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanval 22873 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
2 ssrab2 3417 . . 3  |-  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  SH
3 helsh 22785 . . . . 5  |-  ~H  e.  SH
4 sseq2 3359 . . . . . 6  |-  ( x  =  ~H  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ~H ) )
54rspcev 3061 . . . . 5  |-  ( ( ~H  e.  SH  /\  A  C_  ~H )  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x )
63, 5mpan 653 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x
)
7 rabn0 3635 . . . 4  |-  ( { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  SH  A  C_  x )
86, 7sylibr 205 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )
9 shintcl 22870 . . 3  |-  ( ( { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  SH  /\  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  SH )
102, 8, 9sylancr 646 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  SH )
111, 10eqeltrd 2517 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1728    =/= wne 2606   E.wrex 2713   {crab 2716    C_ wss 3309   (/)c0 3616   |^|cint 4079   ` cfv 5489   ~Hchil 22460   SHcsh 22469   spancspn 22473
This theorem is referenced by:  elspancl  22877  shsupcl  22878  span0  23082  spanuni  23084  spanunsni  23119  shatomistici  23902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108  ax-hilex 22540  ax-hfvadd 22541  ax-hvcom 22542  ax-hvass 22543  ax-hv0cl 22544  ax-hvaddid 22545  ax-hfvmul 22546  ax-hvmulid 22547  ax-hvmulass 22548  ax-hvdistr1 22549  ax-hvdistr2 22550  ax-hvmul0 22551  ax-hfi 22619  ax-his1 22622  ax-his2 22623  ax-his3 22624  ax-his4 22625
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-icc 10961  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-topgen 13705  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-lm 17331  df-haus 17417  df-grpo 21817  df-gid 21818  df-ginv 21819  df-gdiv 21820  df-ablo 21908  df-vc 22063  df-nv 22109  df-va 22112  df-ba 22113  df-sm 22114  df-0v 22115  df-vs 22116  df-nmcv 22117  df-ims 22118  df-hnorm 22509  df-hvsub 22512  df-hlim 22513  df-sh 22747  df-ch 22762  df-ch0 22793  df-span 22849
  Copyright terms: Public domain W3C validator