HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spancl Unicode version

Theorem spancl 22799
Description: The span of a subset of Hilbert space is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spancl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )

Proof of Theorem spancl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanval 22796 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
2 ssrab2 3396 . . 3  |-  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  SH
3 helsh 22708 . . . . 5  |-  ~H  e.  SH
4 sseq2 3338 . . . . . 6  |-  ( x  =  ~H  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ~H ) )
54rspcev 3020 . . . . 5  |-  ( ( ~H  e.  SH  /\  A  C_  ~H )  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x )
63, 5mpan 652 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x
)
7 rabn0 3615 . . . 4  |-  ( { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  SH  A  C_  x )
86, 7sylibr 204 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )
9 shintcl 22793 . . 3  |-  ( ( { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  SH  /\  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  SH )
102, 8, 9sylancr 645 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  SH )
111, 10eqeltrd 2486 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675   {crab 2678    C_ wss 3288   (/)c0 3596   |^|cint 4018   ` cfv 5421   ~Hchil 22383   SHcsh 22392   spancspn 22396
This theorem is referenced by:  elspancl  22800  shsupcl  22801  span0  23005  spanuni  23007  spanunsni  23042  shatomistici  23825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvmulass 22471  ax-hvdistr1 22472  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-lm 17255  df-haus 17341  df-grpo 21740  df-gid 21741  df-ginv 21742  df-gdiv 21743  df-ablo 21831  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-vs 22039  df-nmcv 22040  df-ims 22041  df-hnorm 22432  df-hvsub 22435  df-hlim 22436  df-sh 22670  df-ch 22685  df-ch0 22716  df-span 22772
  Copyright terms: Public domain W3C validator