Theorem spansncol 9486

Description: The singletons of collinear vectors have the same span.

Assertion

Ref	Expression
spansncol	|- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (span` {(B .h A)}) = (span` {A}))

Proof of Theorem spansncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulass 8872	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ B e. CC /\ A e. H~) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
2	1	3com13 840	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ y e. CC) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
3	2	3expa 835	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
4	3	eqeq2d 1489	. . . . . . . . 9 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = ((y x. B) .h A) <-> x = (y .h (B .h A))))
5	4	biimprd 154	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> x = ((y x. B) .h A)))
6		axmulcl 5285	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. CC /\ B e. CC) -> (y x. B) e. CC)
7	6	ancoms 438	. . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ y e. CC) -> (y x. B) e. CC)
8	7	adantll 394	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (y x. B) e. CC)
9	5, 8	jctild 603	. . . . . . 7 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> ((y x. B) e. CC /\ x = ((y x. B) .h A))))
10		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 |- (z = (y x. B) -> (z .h A) = ((y x. B) .h A))
11	10	eqeq2d 1489	. . . . . . . 8 |- (z = (y x. B) -> (x = (z .h A) <-> x = ((y x. B) .h A)))
12	11	rcla4ev 1880	. . . . . . 7 |- (((y x. B) e. CC /\ x = ((y x. B) .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A))
13	9, 12	syl6 22	. . . . . 6 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
14	13	r19.23adva 1750	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. CC) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
15	14	3adant3 801	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
16		ax-hvmulass 8872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z / B) e. CC /\ B e. CC /\ A e. H~) -> (((z / B) x. B) .h A) = ((z / B) .h (B .h A)))
17		divclt 5724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (z / B) e. CC)
18	17	3expb 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (z / B) e. CC)
19	18	adantlr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (z / B) e. CC)
20		simprl 416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> B e. CC)
21		simplr 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> A e. H~)
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 860	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (((z / B) x. B) .h A) = ((z / B) .h (B .h A)))
23		divcan1t 5732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> ((z / B) x. B) = z)
24	23	3exp 834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. CC -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> ((z / B) x. B) = z)))
25	24	imp32 363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) x. B) = z)
26	25	adantlr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) x. B) = z)
27	26	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (((z / B) x. B) .h A) = (z .h A))
28	22, 27	eqtr3d 1512	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) .h (B .h A)) = (z .h A))
29	28	eqeq2d 1489	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = ((z / B) .h (B .h A)) <-> x = (z .h A)))
30	29	biimprd 154	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> x = ((z / B) .h (B .h A))))
31	30, 19	jctild 603	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> ((z / B) e. CC /\ x = ((z / B) .h (B .h A)))))
32		opreq1 3974	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (z / B) -> (y .h (B .h A)) = ((z / B) .h (B .h A)))
33	32	eqeq2d 1489	. . . . . . . . . 10 |- (y = (z / B) -> (x = (y .h (B .h A)) <-> x = ((z / B) .h (B .h A))))
34	33	rcla4ev 1880	. . . . . . . . 9 |- (((z / B) e. CC /\ x = ((z / B) .h (B .h A))) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))
35	31, 34	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
36	35	exp43 386	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> (A e. H~ -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))))
37	36	com4l 39	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> (z e. CC -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))))
38	37	3imp 829	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (z e. CC -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))
39	38	r19.23adv 1749	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.z e. CC x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
40	15, 39	impbid 518	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
41		hvmulclt 8878	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ A e. H~) -> (B .h A) e. H~)
42	41	ancoms 438	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. CC) -> (B .h A) e. H~)
43		elspansnt 9484	. . . . 5 |- ((B .h A) e. H~ -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
44	42, 43	syl 10	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. CC) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
45	44	3adant3 801	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
46		elspansnt 9484	. . . 4 |- (A e. H~ -> (x e. (span` {A}) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
47	46	3ad2ant1 802	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {A}) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
48	40, 45, 47	3bitr4d 552	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> x e. (span` {A})))
49	48	eqrdv 1476	1 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (span` {(B .h A)}) = (span` {A}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649  {csn 2413  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   x. cmul 5251   / cdiv 5306  H~chil 8783   .h csm 8785  spancspn 8796

This theorem is referenced by:  spansneleq 9488  superpos 10276

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147