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Theorem spansncvi 22231
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1  |-  A  e. 
CH
spansncv.2  |-  B  e. 
CH
spansncv.3  |-  C  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spansncvi  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )

Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
2 pssss 3271 . . . 4  |-  ( A 
C.  B  ->  A  C_  B )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  A  C_  B
)
4 pssnel 3519 . . . . . . 7  |-  ( A 
C.  B  ->  E. x
( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )
5 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e. 
CH
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  e. 
~H
86, 7spansnji 22225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  =  ( A  vH  ( span `  { C }
) )
98eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C }
) ) )
107spansnchi 22141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( span `  { C } )  e.  CH
116, 10chseli 22038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
129, 11bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
13 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
x  e.  B  <->  ( y  +h  z )  e.  B
) )
1413biimpac 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( y  +h  z
)  e.  B )
152sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C.  B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  B )
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  B  e. 
CH
1716chshii 21807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  B  e.  SH
18 shsubcl 21800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
1917, 18mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2014, 15, 19syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  ( A 
C.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2120exp43 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2221com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2322imp45 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
246cheli 21812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
2510cheli 21812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  z  e.  ~H )
26 hvpncan2 21619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  =  z )
2724, 25, 26syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  +h  z )  -h  y )  =  z )
2827eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
( y  +h  z
)  -h  y )  e.  B  <->  z  e.  B ) )
2923, 28syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  B ) )
3029imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C }
) )  /\  (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) ) )  ->  z  e.  B
)
3130anandis 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  (
span `  { C } )  /\  (
x  =  ( y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
) ) )  -> 
z  e.  B )
3231exp45 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B )  ->  z  e.  B ) ) ) )
3332imp41 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
3433adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
35 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  0h  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h 
0h ) )
36 ax-hvaddid 21584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3724, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  A  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3835, 37sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( y  +h  z
)  =  y )
3938eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <-> 
x  =  y ) )
40 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  A )
)
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  y  ->  x  e.  A
) )
4239, 41sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
4342impancom 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( z  =  0h  ->  x  e.  A ) )
4443necon3bd 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  z  =/=  0h ) )
4544imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  z  =/=  0h )
46 spansnss 22150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  SH  /\  z  e.  B )  ->  ( span `  {
z } )  C_  B )
4717, 46mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  ->  ( span `  { z } )  C_  B )
48 spansneleq 22149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { C } )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
497, 48mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =/=  0h  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( span `  {
z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
5049imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) )
5150sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( ( span `  { z } )  C_  B  <->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5247, 51syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5352ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5445, 53sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) )
5554exp44 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
) ) ) )
5655com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) ) ) ) )
5756imp41 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5857adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
5934, 58mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( span `  { C } )  C_  B
)
6059exp43 595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) ) )
6160rexlimivv 2672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6212, 61sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
635, 62syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6463imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6564anandirs 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
6665expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
)
6766exlimdv 1664 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( E. x ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
684, 67syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6968ex 423 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) ) )
7069pm2.43d 44 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
7170impcom 419 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( span `  { C } )  C_  B
)
726, 10, 16chlubii 22051 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( span `  { C } )  C_  B
)  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
733, 71, 72syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
741, 73eqssd 3196 1  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152    C. wpss 3153   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ~Hchil 21499    +h cva 21500   0hc0v 21504    -h cmv 21505   SHcsh 21508   CHcch 21509    +H cph 21511   spancspn 21512    vH chj 21513
This theorem is referenced by:  spansncv  22232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-span 21888  df-chj 21889  df-pjh 21974
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