HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansni Unicode version

Theorem spansni 22449
Description: The span of a singleton in Hilbert space equals its closure. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
spansn.1  |-  A  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spansni  |-  ( span `  { A } )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) )

Proof of Theorem spansni
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spansn.1 . . 3  |-  A  e. 
~H
2 snssi 3857 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  { A }  C_  ~H )
3 spanssoc 22241 . . 3  |-  ( { A }  C_  ~H  ->  ( span `  { A } )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { A } ) ) )
41, 2, 3mp2b 9 . 2  |-  ( span `  { A } ) 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) )
51elexi 2882 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
65snss 3841 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  y  <->  { A }  C_  y )
7 shmulcl 22110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  SH  /\  z  e.  CC  /\  A  e.  y )  ->  (
z  .h  A )  e.  y )
873expia 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  SH  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  e.  y  ->  ( z  .h  A )  e.  y ) )
98ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  CC  /\  y  e.  SH )  ->  ( A  e.  y  ->  ( z  .h  A )  e.  y ) )
106, 9syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  y  e.  SH )  ->  ( { A }  C_  y  ->  ( z  .h  A )  e.  y ) )
11 eleq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  .h  A )  ->  (
x  e.  y  <->  ( z  .h  A )  e.  y ) )
1211imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  .h  A )  ->  (
( { A }  C_  y  ->  x  e.  y )  <->  ( { A }  C_  y  -> 
( z  .h  A
)  e.  y ) ) )
1310, 12syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  /\  y  e.  SH )  ->  ( x  =  ( z  .h  A )  ->  ( { A }  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
1413ralrimdva 2718 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  (
x  =  ( z  .h  A )  ->  A. y  e.  SH  ( { A }  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
1514rexlimiv 2746 . . . 4  |-  ( E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A )  ->  A. y  e.  SH  ( { A }  C_  y  ->  x  e.  y ) )
161h1de2ci 22448 . . . 4  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) )  <->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) )
17 vex 2876 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817elspani 22435 . . . . 5  |-  ( { A }  C_  ~H  ->  ( x  e.  (
span `  { A } )  <->  A. y  e.  SH  ( { A }  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
191, 2, 18mp2b 9 . . . 4  |-  ( x  e.  ( span `  { A } )  <->  A. y  e.  SH  ( { A }  C_  y  ->  x  e.  y ) )
2015, 16, 193imtr4i 257 . . 3  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) )  ->  x  e.  ( span `  { A } ) )
2120ssriv 3270 . 2  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  { A } ) )  C_  ( span `  { A } )
224, 21eqssi 3281 1  |-  ( span `  { A } )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   {csn 3729   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   ~Hchil 21812    .h csm 21814   SHcsh 21821   _|_cort 21823   spancspn 21825
This theorem is referenced by:  elspansni  22450  spansn  22451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964  ax-hilex 21892  ax-hfvadd 21893  ax-hvcom 21894  ax-hvass 21895  ax-hv0cl 21896  ax-hvaddid 21897  ax-hfvmul 21898  ax-hvmulid 21899  ax-hvmulass 21900  ax-hvdistr1 21901  ax-hvdistr2 21902  ax-hvmul0 21903  ax-hfi 21971  ax-his1 21974  ax-his2 21975  ax-his3 21976  ax-his4 21977  ax-hcompl 22094
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-lm 17176  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cfil 18896  df-cau 18897  df-cmet 18898  df-grpo 21169  df-gid 21170  df-ginv 21171  df-gdiv 21172  df-ablo 21260  df-subgo 21280  df-vc 21415  df-nv 21461  df-va 21464  df-ba 21465  df-sm 21466  df-0v 21467  df-vs 21468  df-nmcv 21469  df-ims 21470  df-dip 21587  df-ssp 21611  df-ph 21704  df-cbn 21755  df-hnorm 21861  df-hba 21862  df-hvsub 21864  df-hlim 21865  df-hcau 21866  df-sh 22099  df-ch 22114  df-oc 22144  df-ch0 22145  df-span 22201
  Copyright terms: Public domain W3C validator