HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanss Unicode version

Theorem spanss 22698
Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanss  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  C_  ( span `  B )
)

Proof of Theorem spanss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3298 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  x  ->  A  C_  x ) )
21ralrimivw 2733 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x  e.  SH  ( B  C_  x  ->  A  C_  x
) )
3 ss2rab 3362 . . . . 5  |-  ( { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  <->  A. x  e.  SH  ( B  C_  x  ->  A  C_  x
) )
42, 3sylibr 204 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
5 intss 4013 . . . 4  |-  ( { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  ->  |^|
{ x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_ 
|^| { x  e.  SH  |  B  C_  x }
)
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
76adantl 453 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
8 sstr 3299 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  ~H )  ->  A  C_  ~H )
98ancoms 440 . . 3  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  A  C_ 
~H )
10 spanval 22683 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  = 
|^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }
)
12 spanval 22683 . . 3  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( span `  B )  =  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
1312adantr 452 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  B  C_  x }
)
147, 11, 133sstr4d 3334 1  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  C_  ( span `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649   A.wral 2649   {crab 2653    C_ wss 3263   |^|cint 3992   ` cfv 5394   ~Hchil 22270   SHcsh 22279   spancspn 22283
This theorem is referenced by:  spanssoc  22699  span0  22892  spanuni  22894  spansnpji  22928  shatomistici  23712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hv0cl 22354  ax-hfvmul 22356
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-map 6956  df-nn 9933  df-hlim 22323  df-sh 22557  df-ch 22572  df-span 22659
  Copyright terms: Public domain W3C validator