HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanss Structured version   Unicode version

Theorem spanss 22842
Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanss  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  C_  ( span `  B )
)

Proof of Theorem spanss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3347 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  x  ->  A  C_  x ) )
21ralrimivw 2782 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x  e.  SH  ( B  C_  x  ->  A  C_  x
) )
3 ss2rab 3411 . . . . 5  |-  ( { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  <->  A. x  e.  SH  ( B  C_  x  ->  A  C_  x
) )
42, 3sylibr 204 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
5 intss 4063 . . . 4  |-  ( { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  ->  |^|
{ x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_ 
|^| { x  e.  SH  |  B  C_  x }
)
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
76adantl 453 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
8 sstr 3348 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  ~H )  ->  A  C_  ~H )
98ancoms 440 . . 3  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  A  C_ 
~H )
10 spanval 22827 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  = 
|^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }
)
12 spanval 22827 . . 3  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( span `  B )  =  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
1312adantr 452 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  B  C_  x }
)
147, 11, 133sstr4d 3383 1  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  C_  ( span `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   |^|cint 4042   ` cfv 5446   ~Hchil 22414   SHcsh 22423   spancspn 22427
This theorem is referenced by:  spanssoc  22843  span0  23036  spanuni  23038  spansnpji  23072  shatomistici  23856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hv0cl 22498  ax-hfvmul 22500
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-map 7012  df-nn 9993  df-hlim 22467  df-sh 22701  df-ch 22716  df-span 22803
  Copyright terms: Public domain W3C validator