HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanss2 Structured version   Unicode version

Theorem spanss2 22878
Description: A subset of Hilbert space is included in its span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanss2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( span `  A )
)

Proof of Theorem spanss2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4092 . 2  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  A  C_  x }
2 spanval 22866 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
31, 2syl5sseqr 3383 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( span `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   {crab 2715    C_ wss 3306   |^|cint 4074   ` cfv 5483   ~Hchil 22453   SHcsh 22462   spancspn 22466
This theorem is referenced by:  shsupunss  22879  spanuni  23077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-hilex 22533  ax-hfvadd 22534  ax-hv0cl 22537  ax-hfvmul 22539
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-map 7049  df-nn 10032  df-hlim 22506  df-sh 22740  df-ch 22755  df-span 22842
  Copyright terms: Public domain W3C validator