HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanssoc Structured version   Unicode version

Theorem spanssoc 22852
Description: The span of a subset of Hilbert space is less than or equal to its closure (double orthogonal complement). (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanssoc  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )

Proof of Theorem spanssoc
StepHypRef Expression
1 ocss 22788 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
2 ocss 22788 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ~H )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ~H )
4 ococss 22796 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
5 spanss 22851 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) 
C_  ~H  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( span `  A
)  C_  ( span `  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
63, 4, 5syl2anc 644 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  C_  ( span `  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
7 ocsh 22786 . . 3  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  SH )
8 spanid 22850 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e.  SH  ->  ( span `  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
91, 7, 83syl 19 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
106, 9sseqtrd 3385 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   ` cfv 5455   ~Hchil 22423   SHcsh 22432   _|_cort 22434   spancspn 22436
This theorem is referenced by:  spansni  23060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-hilex 22503  ax-hfvadd 22504  ax-hv0cl 22507  ax-hfvmul 22509  ax-hvmul0 22514  ax-hfi 22582  ax-his1 22585  ax-his2 22586  ax-his3 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-hlim 22476  df-sh 22710  df-ch 22725  df-oc 22755  df-span 22812
  Copyright terms: Public domain W3C validator