HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanun Unicode version

Theorem spanun 22179
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanun  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( span `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )

Proof of Theorem spanun
StepHypRef Expression
1 uneq1 3356 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( A  u.  B )  =  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B
) )
21fveq2d 5567 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  (
span `  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B ) ) )
3 fveq2 5563 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( span `  A )  =  (
span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H ) ) )
43oveq1d 5915 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  B ) ) )
52, 4eqeq12d 2330 . 2  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( (
span `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  <->  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  B ) ) ) )
6 uneq2 3357 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B )  =  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )
) )
76fveq2d 5567 . . 3  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B
) )  =  (
span `  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) ) )
8 fveq2 5563 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( span `  B )  =  (
span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) )
98oveq2d 5916 . . 3  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( (
span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H ) )  +H  ( span `  B
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) ) )
107, 9eqeq12d 2330 . 2  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( (
span `  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B ) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  B ) )  <->  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) ) ) )
11 sseq1 3233 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( A 
C_  ~H  <->  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  C_  ~H )
)
12 sseq1 3233 . . . 4  |-  ( ~H  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( ~H  C_  ~H  <->  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  C_  ~H )
)
13 ssid 3231 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
1411, 12, 13elimhyp 3647 . . 3  |-  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  C_  ~H
15 sseq1 3233 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( B 
C_  ~H  <->  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )  C_  ~H )
)
16 sseq1 3233 . . . 4  |-  ( ~H  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( ~H  C_  ~H  <->  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )  C_  ~H )
)
1715, 16, 13elimhyp 3647 . . 3  |-  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )  C_  ~H
1814, 17spanuni 22178 . 2  |-  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) )
195, 10, 18dedth2h 3641 1  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( span `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    u. cun 3184    C_ wss 3186   ifcif 3599   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   ~Hchil 21554    +H cph 21566   spancspn 21567
This theorem is referenced by:  spanpr  22214  superpos  22989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862  ax-hilex 21634  ax-hfvadd 21635  ax-hvcom 21636  ax-hvass 21637  ax-hv0cl 21638  ax-hvaddid 21639  ax-hfvmul 21640  ax-hvmulid 21641  ax-hvmulass 21642  ax-hvdistr1 21643  ax-hvdistr2 21644  ax-hvmul0 21645  ax-hfi 21713  ax-his1 21716  ax-his2 21717  ax-his3 21718  ax-his4 21719
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-lm 17015  df-haus 17099  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ginv 20913  df-gdiv 20914  df-ablo 21002  df-vc 21157  df-nv 21203  df-va 21206  df-ba 21207  df-sm 21208  df-0v 21209  df-vs 21210  df-nmcv 21211  df-ims 21212  df-hnorm 21603  df-hvsub 21606  df-hlim 21607  df-sh 21841  df-ch 21856  df-ch0 21887  df-shs 21942  df-span 21943
  Copyright terms: Public domain W3C validator