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Theorem spanuni 22894
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1  |-  A  C_  ~H
spanun.2  |-  B  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
spanuni  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~H
2 spancl 22686 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( span `  A )  e.  SH
4 spanun.2 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~H
5 spancl 22686 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( span `  B )  e.  SH )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( span `  B )  e.  SH
73, 6shscli 22667 . . . . 5  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  e.  SH
87shssii 22563 . . . 4  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  C_  ~H
9 spanss2 22695 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( span `  A )
)
101, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  A  C_  ( span `  A )
11 spanss2 22695 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~H  ->  B  C_  ( span `  B )
)
124, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  B  C_  ( span `  B )
13 unss12 3462 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( span `  A )  /\  B  C_  ( span `  B
) )  ->  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  u.  ( span `  B ) ) )
1410, 12, 13mp2an 654 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  u.  ( span `  B ) )
153, 6shunssi 22718 . . . . 5  |-  ( (
span `  A )  u.  ( span `  B
) )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) )
1614, 15sstri 3300 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )
17 spanss 22698 . . . 4  |-  ( ( ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  C_  ~H  /\  ( A  u.  B )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) ) )  -> 
( span `  ( A  u.  B ) )  C_  ( span `  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B
) ) ) )
188, 16, 17mp2an 654 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  C_  ( span `  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) ) )
19 spanid 22697 . . . 4  |-  ( ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  e.  SH  ->  ( span `  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )  =  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) ) )
207, 19ax-mp 8 . . 3  |-  ( span `  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )  =  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )
2118, 20sseqtri 3323 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) )
223, 6shseli 22666 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  <->  E. z  e.  ( span `  A ) E. w  e.  ( span `  B ) x  =  ( z  +h  w
) )
23 r2ex 2687 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  ( span `  A ) E. w  e.  ( span `  B
) x  =  ( z  +h  w )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
2422, 23bitri 241 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
25 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2625elspani 22893 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( z  e.  ( span `  A
)  <->  A. y  e.  SH  ( A  C_  y  -> 
z  e.  y ) ) )
271, 26ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( span `  A
)  <->  A. y  e.  SH  ( A  C_  y  -> 
z  e.  y ) )
28 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
2928elspani 22893 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( w  e.  ( span `  B
)  <->  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
) )
304, 29ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( span `  B
)  <->  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
)
3127, 30anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B
) )  <->  ( A. y  e.  SH  ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
32 r19.26 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  SH  (
( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  SH  ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
3331, 32bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B
) )  <->  A. y  e.  SH  ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
34 r19.27av 2787 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  SH  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
3533, 34sylanb 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
)  /\  x  =  ( z  +h  w
) ) )
36 unss 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  y  /\  B  C_  y )  <->  ( A  u.  B )  C_  y
)
37 prth 555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  ->  (
( A  C_  y  /\  B  C_  y )  ->  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) ) )
3836, 37syl5bir 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  y  ->  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )
) )
39 shaddcl 22567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  SH  /\  z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  ( z  +h  w
)  e.  y )
40393expib 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  SH  ->  (
( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
4138, 40sylan9r 640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  SH  /\  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) ) )  ->  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
42 eleq1 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  (
x  e.  y  <->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
4342biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  (
( z  +h  w
)  e.  y  ->  x  e.  y )
)
4441, 43sylan9 639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  SH  /\  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
4544expl 602 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  SH  ->  (
( ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
4645ralimia 2722 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  SH  (
( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
471, 4unssi 3465 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  B )  C_  ~H
48 vex 2902 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
4948elspani 22893 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~H  ->  ( x  e.  ( span `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
5047, 49ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( span `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
5146, 50sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  SH  (
( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B
) ) )
5235, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B ) ) )
5352exlimivv 1642 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B ) ) )
5424, 53sylbi 188 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  ->  x  e.  (
span `  ( A  u.  B ) ) )
5554ssriv 3295 . 2  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  C_  ( span `  ( A  u.  B ) )
5621, 55eqssi 3307 1  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    u. cun 3261    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ~Hchil 22270    +h cva 22271   SHcsh 22279    +H cph 22282   spancspn 22283
This theorem is referenced by:  spanun  22895  spanunsni  22929  spansnji  22996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-lm 17215  df-haus 17301  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-hnorm 22319  df-hvsub 22322  df-hlim 22323  df-sh 22557  df-ch 22572  df-ch0 22603  df-shs 22658  df-span 22659
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