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Theorem spanunsni 23086
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 22735 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 3944 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 22843 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 22823 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 23065 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 22928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 22725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj  h `  A
) `  B )  e.  A )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
112, 9, 10mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 22724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  e.  A
)
1311, 12syl3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 22814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 22929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 23071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 22931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj 
h `  A ) `  B )  +h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )
2120oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 22929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 22516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj  h `  A
) `  B )  +h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2625adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
281cheli 22740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 22521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
3022, 29mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 22521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
34 ax-hvass 22510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  (
y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 3944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B )  e. 
~H  ->  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 22843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 22823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 597 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2831 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2831 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2826 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 189 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 22823 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 23065 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 22725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 22724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6462, 63syl3an2 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  e.  A )
652, 64mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 23071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 22539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  =  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )
7122, 70mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 22534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 22521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 22509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
8180oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 22520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 22530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8786adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8828, 32anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
89 hvadd4 22543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  /\  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 22823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
101 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
10397, 100, 102syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
104103exp43 597 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2831 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2831 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2826 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 189 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
11056, 109impbii 182 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2435 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 22739 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 23051 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 22854 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6094 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2458 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 5 . . . 4  |-  { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } 
C_  ~H
120112, 119spanuni 23051 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6094 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2458 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2468 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   1c1 8996   -ucneg 9297   ~Hchil 22427    +h cva 22428    .h csm 22429   0hc0v 22432   SHcsh 22436   CHcch 22437   _|_cort 22438    +H cph 22439   spancspn 22440   proj 
hcpjh 22445
This theorem is referenced by:  spansnji  23153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cc 8320  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592  ax-hcompl 22709
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-lm 17298  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cfil 19213  df-cau 19214  df-cmet 19215  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-subgo 21895  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-vs 22083  df-nmcv 22084  df-ims 22085  df-dip 22202  df-ssp 22226  df-ph 22319  df-cbn 22370  df-hnorm 22476  df-hba 22477  df-hvsub 22479  df-hlim 22480  df-hcau 22481  df-sh 22714  df-ch 22729  df-oc 22759  df-ch0 22760  df-shs 22815  df-span 22816  df-pjh 22902
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