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Theorem spanunsni 22930
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 22579 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 3886 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 22687 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 22667 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 22909 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 22772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 22569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj  h `  A
) `  B )  e.  A )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
112, 9, 10mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 22568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  e.  A
)
1311, 12syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 22658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 22773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 22915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 22775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj 
h `  A ) `  B )  +h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )
2120oveq2i 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 22773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 22360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj  h `  A
) `  B )  +h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
281cheli 22584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 22365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
3022, 29mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 22365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
34 ax-hvass 22354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  (
y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 3886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B )  e. 
~H  ->  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 22687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 22667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2773 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2773 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2768 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 188 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 22667 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 22909 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 22569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 22568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6462, 63syl3an2 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  e.  A )
652, 64mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 22915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 22383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  =  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )
7122, 70mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 22378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 22365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 22353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
8180oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 22364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 22374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8828, 32anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
89 hvadd4 22387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  /\  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 22667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
101 eleq1 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
10397, 100, 102syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
104103exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2773 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2773 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2768 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 188 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
11056, 109impbii 181 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2385 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 22583 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 22895 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 22698 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 8 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6031 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2408 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 8 . . . 4  |-  { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } 
C_  ~H
120112, 119spanuni 22895 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6031 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2408 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2418 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651    u. cun 3262    C_ wss 3264   {csn 3758   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   1c1 8925   -ucneg 9225   ~Hchil 22271    +h cva 22272    .h csm 22273   0hc0v 22276   SHcsh 22280   CHcch 22281   _|_cort 22282    +H cph 22283   spancspn 22284   proj 
hcpjh 22289
This theorem is referenced by:  spansnji  22997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvmulass 22359  ax-hvdistr1 22360  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his2 22434  ax-his3 22435  ax-his4 22436  ax-hcompl 22553
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-lm 17216  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cfil 19080  df-cau 19081  df-cmet 19082  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-gdiv 21631  df-ablo 21719  df-subgo 21739  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-vs 21927  df-nmcv 21928  df-ims 21929  df-dip 22046  df-ssp 22070  df-ph 22163  df-cbn 22214  df-hnorm 22320  df-hba 22321  df-hvsub 22323  df-hlim 22324  df-hcau 22325  df-sh 22558  df-ch 22573  df-oc 22603  df-ch0 22604  df-shs 22659  df-span 22660  df-pjh 22746
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