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Theorem spanunsni 22158
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 21807 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 3759 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 21915 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 21895 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 22137 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 22000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 21797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj  h `  A
) `  B )  e.  A )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
112, 9, 10mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 21796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  e.  A
)
1311, 12syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 21886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 22001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 22143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 22003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj 
h `  A ) `  B )  +h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )
2120oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 22001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 21588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj  h `  A
) `  B )  +h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
281cheli 21812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
3022, 29mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
34 ax-hvass 21582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  (
y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B )  e. 
~H  ->  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 21915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 21895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 595 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2666 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2661 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 21895 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 22137 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 21797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )
6259, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 21796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6462, 63syl3an2 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  e.  A )
652, 64mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 22143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 21611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  =  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )
7122, 70mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 21606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 21581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
8180oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 21592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 21602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8786adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8828, 32anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
89 hvadd4 21615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  /\  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
9226oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 21895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
101 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
10397, 100, 102syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
104103exp43 595 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2666 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2661 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
11056, 109impbii 180 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2280 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 21811 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 22123 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 21926 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 8 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 5868 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2303 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 8 . . . 4  |-  { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } 
C_  ~H
120112, 119spanuni 22123 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 5868 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2303 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2313 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738   -ucneg 9038   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501   0hc0v 21504   SHcsh 21508   CHcch 21509   _|_cort 21510    +H cph 21511   spancspn 21512   proj 
hcpjh 21517
This theorem is referenced by:  spansnji  22225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-span 21888  df-pjh 21974
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