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Theorem spanunsni 23069
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 22718 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 3934 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 22826 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 22806 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 23048 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 22911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 22708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj  h `  A
) `  B )  e.  A )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
112, 9, 10mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 22707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  e.  A
)
1311, 12syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 22797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 22912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 23054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 22914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj 
h `  A ) `  B )  +h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )
2120oveq2i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 22912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 22499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj  h `  A
) `  B )  +h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
281cheli 22723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 22504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
3022, 29mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 22504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
34 ax-hvass 22493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  (
y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 3934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B )  e. 
~H  ->  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 22826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 22806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2821 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2816 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 188 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 22806 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 23048 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 22708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 22707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6462, 63syl3an2 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  e.  A )
652, 64mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 23054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 22522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  =  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )
7122, 70mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 22517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 22504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 22492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
8180oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 22503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 22513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8828, 32anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
89 hvadd4 22526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  /\  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 22806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
101 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
10397, 100, 102syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
104103exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2821 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2816 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 188 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
11056, 109impbii 181 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2432 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 22722 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 23034 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 22837 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 8 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6082 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2455 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 8 . . . 4  |-  { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } 
C_  ~H
120112, 119spanuni 23034 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6082 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2455 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2465 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   1c1 8980   -ucneg 9281   ~Hchil 22410    +h cva 22411    .h csm 22412   0hc0v 22415   SHcsh 22419   CHcch 22420   _|_cort 22421    +H cph 22422   spancspn 22423   proj 
hcpjh 22428
This theorem is referenced by:  spansnji  23136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575  ax-hcompl 22692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-lm 17281  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-subgo 21878  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-ssp 22209  df-ph 22302  df-cbn 22353  df-hnorm 22459  df-hba 22460  df-hvsub 22462  df-hlim 22463  df-hcau 22464  df-sh 22697  df-ch 22712  df-oc 22742  df-ch0 22743  df-shs 22798  df-span 22799  df-pjh 22885
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