HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  speccl Unicode version

Theorem speccl 22495
Description: The spectrum of an operator is a set of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
speccl  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
Lambda `  T )  C_  CC )

Proof of Theorem speccl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 specval 22494 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
Lambda `  T )  =  { x  e.  CC  |  -.  ( T  -op  ( x  .op  (  _I  |`  ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H }
)
2 ssrab2 3271 . . 3  |-  { x  e.  CC  |  -.  ( T  -op  ( x  .op  (  _I  |`  ~H )
) ) : ~H -1-1-> ~H }  C_  CC
32a1i 10 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  e.  CC  |  -.  ( T  -op  (
x  .op  (  _I  |` 
~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H }  C_  CC )
41, 3eqsstrd 3225 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
Lambda `  T )  C_  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   {crab 2560    C_ wss 3165    _I cid 4320    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ~Hchil 21515    .op chot 21535    -op chod 21536   Lambdacspc 21557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-hilex 21595
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-spec 22451
  Copyright terms: Public domain W3C validator