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Theorem splint 25048
Description: Splitting an intersection. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
splint  |-  ( B 
C_  A  ->  |^|_ x  e.  A  C  =  ( |^|_ x  e.  ( A  \  B ) C  i^i  |^|_ x  e.  B  C )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem splint
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . 4  |-  y  e. 
_V
2 eliin 3910 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  C  <->  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
31, 2mp1i 11 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  C  <->  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
4 undif 3534 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
5 equncom 3320 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  A  =  (
( A  \  B
)  u.  B ) )
65biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  A  =  ( ( A  \  B )  u.  B
) )
76eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  =  A  ->  A  =  ( ( A 
\  B )  u.  B ) )
84, 7sylbi 187 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  A  =  ( ( A 
\  B )  u.  B ) )
98raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  C  <->  A. x  e.  ( ( A  \  B )  u.  B
) y  e.  C
) )
10 ralunb 3356 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( ( A  \  B )  u.  B ) y  e.  C  <->  ( A. x  e.  ( A  \  B
) y  e.  C  /\  A. x  e.  B  y  e.  C )
)
119, 10syl6bb 252 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  C  <->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) y  e.  C  /\  A. x  e.  B  y  e.  C ) ) )
12 eliin 3910 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  ( A  \  B
) C  <->  A. x  e.  ( A  \  B
) y  e.  C
) )
131, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  ( A  \  B ) C  <->  A. x  e.  ( A  \  B ) y  e.  C )
1413bicomi 193 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A  \  B ) y  e.  C  <->  y  e.  |^|_ x  e.  ( A  \  B ) C )
1514a1i 10 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) y  e.  C  <->  y  e.  |^|_
x  e.  ( A 
\  B ) C ) )
16 eliin 3910 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  B  C  <->  A. x  e.  B  y  e.  C ) )
171, 16mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  B  C  <->  A. x  e.  B  y  e.  C ) )
1817bicomd 192 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  B  y  e.  C  <->  y  e.  |^|_
x  e.  B  C
) )
1915, 18anbi12d 691 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( A. x  e.  ( A  \  B
) y  e.  C  /\  A. x  e.  B  y  e.  C )  <->  ( y  e.  |^|_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  y  e.  |^|_ x  e.  B  C ) ) )
20 elin 3358 . . . 4  |-  ( y  e.  ( |^|_ x  e.  ( A  \  B
) C  i^i  |^|_ x  e.  B  C )  <-> 
( y  e.  |^|_ x  e.  ( A  \  B ) C  /\  y  e.  |^|_ x  e.  B  C ) )
2119, 20syl6bbr 254 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( A. x  e.  ( A  \  B
) y  e.  C  /\  A. x  e.  B  y  e.  C )  <->  y  e.  ( |^|_ x  e.  ( A  \  B
) C  i^i  |^|_ x  e.  B  C ) ) )
223, 11, 213bitrd 270 . 2  |-  ( B 
C_  A  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  C  <->  y  e.  ( |^|_ x  e.  ( A  \  B ) C  i^i  |^|_ x  e.  B  C )
) )
2322eqrdv 2281 1  |-  ( B 
C_  A  ->  |^|_ x  e.  A  C  =  ( |^|_ x  e.  ( A  \  B ) C  i^i  |^|_ x  e.  B  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   |^|_ciin 3906
This theorem is referenced by:  splintx  25049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-iin 3908
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