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Theorem spwex 14581
Description: A supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the domain of 
R. (Contributed by NM, 15-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
spwex.1  |-  X  =  dom  R
spwex.2  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
spwex  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwex
StepHypRef Expression
1 spwex.2 . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
21reubii 2830 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
3 spwex.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
4 dmexg 5063 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
53, 4syl5eqel 2464 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  e.  _V )
6 riotaclbg 6518 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
82, 7syl5bb 249 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  e.  X ) )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
101spweu 14579 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. x  e.  X  ph )  ->  E! x  e.  X  ph )
1110ex 424 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  ->  E! x  e.  X  ph )
)
12 reurex 2858 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  ->  E. x  e.  X  ph )
1311, 12impbid1 195 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
153spwval 14577 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
1615eleq1d 2446 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
( R  sup w  A )  e.  X  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
179, 14, 163bitr4d 277 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   E!wreu 2644   _Vcvv 2892   class class class wbr 4146   dom cdm 4811  (class class class)co 6013   iota_crio 6471   PosetRelcps 14544    sup w cspw 14546
This theorem is referenced by:  spwcl  14582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-undef 6472  df-riota 6478  df-ps 14549  df-spw 14551
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