MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spwex Unicode version

Theorem spwex 14338
Description: A supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the domain of 
R. (Contributed by NM, 15-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
spwex.1  |-  X  =  dom  R
spwex.2  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
spwex  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwex
StepHypRef Expression
1 spwex.2 . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
21reubii 2726 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
3 spwex.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
4 dmexg 4939 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
53, 4syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  e.  _V )
6 riotaclbg 6344 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
82, 7syl5bb 248 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  e.  X ) )
98adantr 451 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
101spweu 14336 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. x  e.  X  ph )  ->  E! x  e.  X  ph )
1110ex 423 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  ->  E! x  e.  X  ph )
)
12 reurex 2754 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  ->  E. x  e.  X  ph )
1311, 12impbid1 194 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
1413adantr 451 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
153spwval 14334 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
1615eleq1d 2349 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
( R  sup w  A )  e.  X  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
179, 14, 163bitr4d 276 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   PosetRelcps 14301    sup w cspw 14303
This theorem is referenced by:  spwcl  14339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-undef 6298  df-riota 6304  df-ps 14306  df-spw 14308
  Copyright terms: Public domain W3C validator