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Theorem spwex 14354
Description: A supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the domain of 
R. (Contributed by NM, 15-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
spwex.1  |-  X  =  dom  R
spwex.2  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
spwex  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwex
StepHypRef Expression
1 spwex.2 . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
21reubii 2739 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
3 spwex.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
4 dmexg 4955 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
53, 4syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  e.  _V )
6 riotaclbg 6360 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
82, 7syl5bb 248 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  e.  X ) )
98adantr 451 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
101spweu 14352 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. x  e.  X  ph )  ->  E! x  e.  X  ph )
1110ex 423 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  ->  E! x  e.  X  ph )
)
12 reurex 2767 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  ->  E. x  e.  X  ph )
1311, 12impbid1 194 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
1413adantr 451 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
153spwval 14350 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
1615eleq1d 2362 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
( R  sup w  A )  e.  X  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
179, 14, 163bitr4d 276 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   PosetRelcps 14317    sup w cspw 14319
This theorem is referenced by:  spwcl  14355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-undef 6314  df-riota 6320  df-ps 14322  df-spw 14324
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