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Theorem spwex 14653
Description: A supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the domain of 
R. (Contributed by NM, 15-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
spwex.1  |-  X  =  dom  R
spwex.2  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
spwex  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwex
StepHypRef Expression
1 spwex.2 . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
21reubii 2886 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
3 spwex.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
4 dmexg 5122 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
53, 4syl5eqel 2519 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  e.  _V )
6 riotaclbg 6581 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
82, 7syl5bb 249 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  e.  X ) )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  X  ph  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
101spweu 14651 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. x  e.  X  ph )  ->  E! x  e.  X  ph )
1110ex 424 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  ->  E! x  e.  X  ph )
)
12 reurex 2914 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ph  ->  E. x  e.  X  ph )
1311, 12impbid1 195 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  E! x  e.  X  ph ) )
153spwval 14649 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
1615eleq1d 2501 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
( R  sup w  A )  e.  X  <->  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
179, 14, 163bitr4d 277 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( E. x  e.  X  ph  <->  ( R  sup w  A
)  e.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   dom cdm 4870  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   PosetRelcps 14616    sup w cspw 14618
This theorem is referenced by:  spwcl  14654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-undef 6535  df-riota 6541  df-ps 14621  df-spw 14623
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