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Theorem spwmo 14335
Description: A poset has at most one supremum. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
spwmo.1  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
spwmo  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  E* x  e.  X ph )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
21cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  y R x  <->  A. z  e.  A  z R x )
3 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  (
z R y  <->  z R w ) )
43ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z  e.  A  z R y  <->  A. z  e.  A  z R w ) )
5 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
x R y  <->  x R w ) )
64, 5imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  (
( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  ( A. z  e.  A  z R w  ->  x R w ) ) )
76rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  -> 
( A. z  e.  A  z R w  ->  x R w ) ) )
87imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  X  ->  (
( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y )  /\  A. z  e.  A  z R w )  ->  x R w ) )
9 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
z R y  <->  z R x ) )
109ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z  e.  A  z R y  <->  A. z  e.  A  z R x ) )
11 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
w R y  <->  w R x ) )
1210, 11imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  <->  ( A. z  e.  A  z R x  ->  w R x ) ) )
1312rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  -> 
( A. z  e.  A  z R x  ->  w R x ) ) )
1413imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  ->  (
( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  w R
y )  /\  A. z  e.  A  z R x )  ->  w R x ) )
158, 14im2anan9r 809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( ( ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  /\  A. z  e.  A  z R w )  /\  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  /\  A. z  e.  A  z R x ) )  ->  ( x R w  /\  w R x ) ) )
16 psasym 14319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R w  /\  w R x )  ->  x  =  w )
17163expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R w  /\  w R x )  ->  x  =  w )
)
1815, 17syl9 66 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( R  e.  PosetRel  -> 
( ( ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  /\  A. z  e.  A  z R w )  /\  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  /\  A. z  e.  A  z R x ) )  ->  x  =  w ) ) )
1918com13 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y )  /\  A. z  e.  A  z R w )  /\  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  /\  A. z  e.  A  z R x ) )  ->  ( R  e.  PosetRel 
->  ( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  x  =  w ) ) )
2019exp43 595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  -> 
( A. z  e.  A  z R w  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  -> 
( A. z  e.  A  z R x  ->  ( R  e.  PosetRel 
->  ( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  x  =  w ) ) ) ) ) )
2120com4r 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  z R x  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  -> 
( A. z  e.  A  z R w  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  -> 
( R  e.  PosetRel  -> 
( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  x  =  w ) ) ) ) ) )
222, 21sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y R x  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  -> 
( A. z  e.  A  z R w  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y )  -> 
( R  e.  PosetRel  -> 
( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  x  =  w ) ) ) ) ) )
2322imp43 578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) )  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) )  ->  ( R  e. 
PosetRel  ->  ( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  x  =  w ) ) )
2423com3r 73 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  w R
y ) ) )  ->  ( R  e.  PosetRel 
->  x  =  w
) ) )
2524imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  w R
y ) ) ) )  ->  ( R  e. 
PosetRel  ->  x  =  w ) )
2625an4s 799 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  /\  ( w  e.  X  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) ) )  ->  ( R  e.  PosetRel  ->  x  =  w ) )
2726com12 27 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  /\  ( w  e.  X  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) ) )  ->  x  =  w ) )
2827alrimivv 1618 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. w
( ( ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  /\  ( w  e.  X  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) ) )  ->  x  =  w ) )
29 spwmo.1 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
3029anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  ph )  <->  ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
3130mobii 2179 . . . 4  |-  ( E* x ( x  e.  X  /\  ph )  <->  E* x ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
32 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  X  <->  w  e.  X ) )
33 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
y R x  <->  y R w ) )
3433ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  A. y  e.  A  y R w ) )
35 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y R w  <->  z R w ) )
3635cbvralv 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  y R w  <->  A. z  e.  A  z R w )
3734, 36syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  A. z  e.  A  z R w ) )
38 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
3938imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  w R
y ) ) )
4039ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) )
4137, 40anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) )  <->  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) ) )
4232, 41anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  w R
y ) ) ) ) )
4342mo4 2176 . . . 4  |-  ( E* x ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  <->  A. x A. w
( ( ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  /\  ( w  e.  X  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) ) )  ->  x  =  w ) )
4431, 43bitri 240 . . 3  |-  ( E* x ( x  e.  X  /\  ph )  <->  A. x A. w ( ( ( x  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  /\  ( w  e.  X  /\  ( A. z  e.  A  z R w  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  w R y ) ) ) )  ->  x  =  w ) )
4528, 44sylibr 203 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  E* x ( x  e.  X  /\  ph ) )
46 df-rmo 2551 . 2  |-  ( E* x  e.  X ph  <->  E* x ( x  e.  X  /\  ph )
)
4745, 46sylibr 203 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  E* x  e.  X ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684   E*wmo 2144   A.wral 2543   E*wrmo 2546   class class class wbr 4023   PosetRelcps 14301
This theorem is referenced by:  spweu  14336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-res 4701  df-ps 14306
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