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Theorem spwpr2 14665
Description: Property of supremum defining condition for an unordered pair. (Contributed by NM, 24-Jun-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
spwmo.1  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
spwpr2  |-  ( ( ( R  e.  T  /\  A  =  { B ,  C }
)  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W ) )  -> 
( ph  <->  ( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z    y, C, z    x, R, y, z    x, X, y    y, U    y, W
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    B( x)    C( x)    T( x, y, z)    U( x, z)    W( x, z)    X( z)

Proof of Theorem spwpr2
StepHypRef Expression
1 spwmo.1 . 2  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
2 raleq 2906 . . . . 5  |-  ( A  =  { B ,  C }  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  A. y  e.  { B ,  C }
y R x ) )
3 breq1 4218 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
4 breq1 4218 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
y R x  <->  C R x ) )
53, 4ralprg 3859 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  U  /\  C  e.  W )  ->  ( A. y  e. 
{ B ,  C } y R x  <-> 
( B R x  /\  C R x ) ) )
62, 5sylan9bb 682 . . . 4  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  ( B R x  /\  C R x ) ) )
7 raleq 2906 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { B ,  C }  ->  ( A. z  e.  A  z R y  <->  A. z  e.  { B ,  C } z R y ) )
8 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z R y  <->  B R
y ) )
9 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  (
z R y  <->  C R
y ) )
108, 9ralprg 3859 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  U  /\  C  e.  W )  ->  ( A. z  e. 
{ B ,  C } z R y  <-> 
( B R y  /\  C R y ) ) )
117, 10sylan9bb 682 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( A. z  e.  A  z R y  <->  ( B R y  /\  C R y ) ) )
1211imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R y ) ) )
1312ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R y ) ) )
146, 13anbi12d 693 . . 3  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  (
( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
1514adantll 696 . 2  |-  ( ( ( R  e.  T  /\  A  =  { B ,  C }
)  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W ) )  -> 
( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) )  <->  ( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
161, 15syl5bb 250 1  |-  ( ( ( R  e.  T  /\  A  =  { B ,  C }
)  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W ) )  -> 
( ph  <->  ( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {cpr 3817   class class class wbr 4215
This theorem is referenced by:  spwpr4  14668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216
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