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Theorem spwpr2 14353
Description: Property of supremum defining condition for an unordered pair. (Contributed by NM, 24-Jun-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
spwmo.1  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
spwpr2  |-  ( ( ( R  e.  T  /\  A  =  { B ,  C }
)  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W ) )  -> 
( ph  <->  ( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z    y, C, z    x, R, y, z    x, X, y    y, U    y, W
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    B( x)    C( x)    T( x, y, z)    U( x, z)    W( x, z)    X( z)

Proof of Theorem spwpr2
StepHypRef Expression
1 spwmo.1 . 2  |-  ( ph  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
2 raleq 2749 . . . . 5  |-  ( A  =  { B ,  C }  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  A. y  e.  { B ,  C }
y R x ) )
3 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
4 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
y R x  <->  C R x ) )
53, 4ralprg 3695 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  U  /\  C  e.  W )  ->  ( A. y  e. 
{ B ,  C } y R x  <-> 
( B R x  /\  C R x ) ) )
62, 5sylan9bb 680 . . . 4  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  ( B R x  /\  C R x ) ) )
7 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { B ,  C }  ->  ( A. z  e.  A  z R y  <->  A. z  e.  { B ,  C } z R y ) )
8 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z R y  <->  B R
y ) )
9 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  (
z R y  <->  C R
y ) )
108, 9ralprg 3695 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  U  /\  C  e.  W )  ->  ( A. z  e. 
{ B ,  C } z R y  <-> 
( B R y  /\  C R y ) ) )
117, 10sylan9bb 680 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( A. z  e.  A  z R y  <->  ( B R y  /\  C R y ) ) )
1211imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R y ) ) )
1312ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R y ) ) )
146, 13anbi12d 691 . . 3  |-  ( ( A  =  { B ,  C }  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W )
)  ->  ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  (
( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
1514adantll 694 . 2  |-  ( ( ( R  e.  T  /\  A  =  { B ,  C }
)  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W ) )  -> 
( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) )  <->  ( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
161, 15syl5bb 248 1  |-  ( ( ( R  e.  T  /\  A  =  { B ,  C }
)  /\  ( B  e.  U  /\  C  e.  W ) )  -> 
( ph  <->  ( ( B R x  /\  C R x )  /\  A. y  e.  X  ( ( B R y  /\  C R y )  ->  x R
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {cpr 3654   class class class wbr 4039
This theorem is referenced by:  spwpr4  14356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040
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