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Theorem spwpr4 14439
Description: Supremum of an unordered pair. (Contributed by NM, 7-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwpr4.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwpr4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, R    x, X

Proof of Theorem spwpr4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e.  PosetRel )
2 psrel 14411 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relelrn 4994 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
42, 3sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
5 spwpr4.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
65psrn 14417 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  X  =  ran  R )
84, 7eleqtrrd 2435 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  X )
98adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  C  e.  X )
101, 9jca 518 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
11103adant3 975 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
12 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  R  e.  PosetRel )
13 prex 4298 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  _V
145spwval 14433 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  ( iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
1512, 13, 14sylancl 643 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  (
iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
16 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e. 
PosetRel )
17 brrelex 4809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  A  e.  _V )
1817ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( A R C  ->  A  e. 
_V ) )
19 brrelex 4809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  B R C )  ->  B  e.  _V )
2019ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( B R C  ->  B  e. 
_V ) )
2118, 20anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
222, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
2322imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
2423adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
25 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  =  { A ,  B }
26 biid 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
2726spwpr2 14436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  =  { A ,  B } )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2825, 27mpanl2 662 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2916, 24, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  (
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
3029riotabidv 6393 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )  =  (
iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
31303adant3 975 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  =  ( iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
32 3simpc 954 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
33 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  C  e.  X
)
34 breq2 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( A R y  <->  A R C ) )
35 breq2 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( B R y  <->  B R C ) )
3634, 35anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  (
( A R y  /\  B R y )  <->  ( A R C  /\  B R C ) ) )
37 breq1 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
y R x  <->  C R x ) )
3837imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
3938ralbidv 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
4036, 39anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) ) )
4140rspcev 2960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
42413impb 1147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
43423adant1l 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
4429rexbidv 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
45443adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
4643, 45mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )
4726spweu 14435 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4812, 46, 47syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4929reubidv 2800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
50493adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
5148, 50mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
5240riota2 6414 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5333, 51, 52syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5432, 53mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C )
5515, 31, 543eqtrd 2394 . 2  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  C )
5611, 55syld3an1 1228 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   E!wreu 2621   _Vcvv 2864   {cpr 3717   class class class wbr 4104   dom cdm 4771   ran crn 4772   Rel wrel 4776  (class class class)co 5945   iota_crio 6384   PosetRelcps 14400    sup w cspw 14402
This theorem is referenced by:  spwpr4c  14440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-ps 14405  df-spw 14407
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