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Theorem spwpr4 14622
Description: Supremum of an unordered pair. (Contributed by NM, 7-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwpr4.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwpr4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, R    x, X

Proof of Theorem spwpr4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e.  PosetRel )
2 psrel 14594 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relelrn 5066 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
42, 3sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
5 spwpr4.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
65psrn 14600 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  X  =  ran  R )
84, 7eleqtrrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  X )
98adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  C  e.  X )
101, 9jca 519 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
11103adant3 977 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
12 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  R  e.  PosetRel )
13 prex 4370 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  _V
145spwval 14616 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  ( iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
1512, 13, 14sylancl 644 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  (
iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
16 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e. 
PosetRel )
17 brrelex 4879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  A  e.  _V )
1817ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( A R C  ->  A  e. 
_V ) )
19 brrelex 4879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  B R C )  ->  B  e.  _V )
2019ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( B R C  ->  B  e. 
_V ) )
2118, 20anim12d 547 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
222, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
2322imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
2423adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
25 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  =  { A ,  B }
26 biid 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
2726spwpr2 14619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  =  { A ,  B } )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2825, 27mpanl2 663 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2916, 24, 28syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  (
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
3029riotabidv 6514 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )  =  (
iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
31303adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  =  ( iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
32 3simpc 956 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
33 simp1r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  C  e.  X
)
34 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( A R y  <->  A R C ) )
35 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( B R y  <->  B R C ) )
3634, 35anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  (
( A R y  /\  B R y )  <->  ( A R C  /\  B R C ) ) )
37 breq1 4179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
y R x  <->  C R x ) )
3837imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
3938ralbidv 2690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
4036, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) ) )
4140rspcev 3016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
42413impb 1149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
43423adant1l 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
4429rexbidv 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
45443adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
4643, 45mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )
4726spweu 14618 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4812, 46, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4929reubidv 2856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
50493adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
5148, 50mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
5240riota2 6535 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5333, 51, 52syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5432, 53mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C )
5515, 31, 543eqtrd 2444 . 2  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  C )
5611, 55syld3an1 1230 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   E!wreu 2672   _Vcvv 2920   {cpr 3779   class class class wbr 4176   dom cdm 4841   ran crn 4842   Rel wrel 4846  (class class class)co 6044   iota_crio 6505   PosetRelcps 14583    sup w cspw 14585
This theorem is referenced by:  spwpr4c  14623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pr 4367
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-ps 14588  df-spw 14590
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