MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spwpr4 Unicode version

Theorem spwpr4 14340
Description: Supremum of an unordered pair. (Contributed by NM, 7-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwpr4.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwpr4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, R    x, X

Proof of Theorem spwpr4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e.  PosetRel )
2 psrel 14312 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relelrn 4912 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
42, 3sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
5 spwpr4.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
65psrn 14318 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  X  =  ran  R )
84, 7eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  X )
98adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  C  e.  X )
101, 9jca 518 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
11103adant3 975 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
12 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  R  e.  PosetRel )
13 prex 4217 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  _V
145spwval 14334 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  ( iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
1512, 13, 14sylancl 643 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  (
iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
16 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e. 
PosetRel )
17 brrelex 4727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  A  e.  _V )
1817ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( A R C  ->  A  e. 
_V ) )
19 brrelex 4727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  B R C )  ->  B  e.  _V )
2019ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( B R C  ->  B  e. 
_V ) )
2118, 20anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
222, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
2322imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
2423adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
25 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  =  { A ,  B }
26 biid 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
2726spwpr2 14337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  =  { A ,  B } )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2825, 27mpanl2 662 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2916, 24, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  (
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
3029riotabidv 6306 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )  =  (
iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
31303adant3 975 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  =  ( iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
32 3simpc 954 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
33 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  C  e.  X
)
34 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( A R y  <->  A R C ) )
35 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( B R y  <->  B R C ) )
3634, 35anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  (
( A R y  /\  B R y )  <->  ( A R C  /\  B R C ) ) )
37 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
y R x  <->  C R x ) )
3837imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
3938ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
4036, 39anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) ) )
4140rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
42413impb 1147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
43423adant1l 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
4429rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
45443adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
4643, 45mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )
4726spweu 14336 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4812, 46, 47syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4929reubidv 2724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
50493adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
5148, 50mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
5240riota2 6327 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5333, 51, 52syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5432, 53mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C )
5515, 31, 543eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  C )
5611, 55syld3an1 1228 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   _Vcvv 2788   {cpr 3641   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   PosetRelcps 14301    sup w cspw 14303
This theorem is referenced by:  spwpr4c  14341  toplat  25290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-ps 14306  df-spw 14308
  Copyright terms: Public domain W3C validator