Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spwpr4 Structured version   Unicode version

Theorem spwpr4 14668
 Description: Supremum of an unordered pair. (Contributed by NM, 7-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwpr4.1
Assertion
Ref Expression
spwpr4
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem spwpr4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4
2 psrel 14640 . . . . . . 7
3 relelrn 5106 . . . . . . 7
42, 3sylan 459 . . . . . 6
5 spwpr4.1 . . . . . . . 8
65psrn 14646 . . . . . . 7
76adantr 453 . . . . . 6
84, 7eleqtrrd 2515 . . . . 5
98adantrr 699 . . . 4
101, 9jca 520 . . 3
12 simp1l 982 . . . 4
13 prex 4409 . . . 4
145spwval 14662 . . . 4
1512, 13, 14sylancl 645 . . 3
16 simpll 732 . . . . . 6
17 brrelex 4919 . . . . . . . . . . 11
1817ex 425 . . . . . . . . . 10
19 brrelex 4919 . . . . . . . . . . 11
2019ex 425 . . . . . . . . . 10
2118, 20anim12d 548 . . . . . . . . 9
222, 21syl 16 . . . . . . . 8
2322imp 420 . . . . . . 7
2423adantlr 697 . . . . . 6
25 eqid 2438 . . . . . . 7
26 biid 229 . . . . . . . 8
2726spwpr2 14665 . . . . . . 7
2825, 27mpanl2 664 . . . . . 6
2916, 24, 28syl2anc 644 . . . . 5
3029riotabidv 6554 . . . 4
32 3simpc 957 . . . 4
33 simp1r 983 . . . . 5
34 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13
35 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12
37 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . 14
3837imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13
3938ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12
4036, 39anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11
4140rspcev 3054 . . . . . . . . . 10
42413impb 1150 . . . . . . . . 9
43423adant1l 1177 . . . . . . . 8
4429rexbidv 2728 . . . . . . . . 9
45443adant3 978 . . . . . . . 8
4643, 45mpbird 225 . . . . . . 7
4726spweu 14664 . . . . . . 7
4812, 46, 47syl2anc 644 . . . . . 6
4929reubidv 2894 . . . . . . 7
50493adant3 978 . . . . . 6
5148, 50mpbid 203 . . . . 5
5240riota2 6575 . . . . 5
5333, 51, 52syl2anc 644 . . . 4
5432, 53mpbid 203 . . 3
5515, 31, 543eqtrd 2474 . 2
5611, 55syld3an1 1231 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  wreu 2709  cvv 2958  cpr 3817   class class class wbr 4215   cdm 4881   crn 4882   wrel 4886  (class class class)co 6084  crio 6545  cps 14629   cspw 14631 This theorem is referenced by:  spwpr4c  14669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-ps 14634  df-spw 14636
 Copyright terms: Public domain W3C validator