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Theorem spwpr4 14668
Description: Supremum of an unordered pair. (Contributed by NM, 7-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwpr4.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwpr4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, R    x, X

Proof of Theorem spwpr4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e.  PosetRel )
2 psrel 14640 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relelrn 5106 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
42, 3sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
5 spwpr4.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
65psrn 14646 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
76adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  X  =  ran  R )
84, 7eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  X )
98adantrr 699 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  C  e.  X )
101, 9jca 520 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
11103adant3 978 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
12 simp1l 982 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  R  e.  PosetRel )
13 prex 4409 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  _V
145spwval 14662 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  ( iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
1512, 13, 14sylancl 645 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  (
iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
16 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e. 
PosetRel )
17 brrelex 4919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  A  e.  _V )
1817ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( A R C  ->  A  e. 
_V ) )
19 brrelex 4919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  B R C )  ->  B  e.  _V )
2019ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( B R C  ->  B  e. 
_V ) )
2118, 20anim12d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
222, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
2322imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
2423adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
25 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  =  { A ,  B }
26 biid 229 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
2726spwpr2 14665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  =  { A ,  B } )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2825, 27mpanl2 664 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2916, 24, 28syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  (
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
3029riotabidv 6554 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )  =  (
iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
31303adant3 978 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  =  ( iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
32 3simpc 957 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
33 simp1r 983 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  C  e.  X
)
34 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( A R y  <->  A R C ) )
35 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( B R y  <->  B R C ) )
3634, 35anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  (
( A R y  /\  B R y )  <->  ( A R C  /\  B R C ) ) )
37 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
y R x  <->  C R x ) )
3837imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
3938ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
4036, 39anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) ) )
4140rspcev 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
42413impb 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
43423adant1l 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
4429rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
45443adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
4643, 45mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )
4726spweu 14664 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4812, 46, 47syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4929reubidv 2894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
50493adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
5148, 50mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
5240riota2 6575 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5333, 51, 52syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5432, 53mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C )
5515, 31, 543eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  C )
5611, 55syld3an1 1231 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   _Vcvv 2958   {cpr 3817   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   ran crn 4882   Rel wrel 4886  (class class class)co 6084   iota_crio 6545   PosetRelcps 14629    sup w cspw 14631
This theorem is referenced by:  spwpr4c  14669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-ps 14634  df-spw 14636
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