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Theorem spwval 14612
Description: Value of supremum under a weak ordering. Read  R  sup w  A as "the  R-supremum of  A."  U. U. R is the field of a relation  R by relfld 5354. Unlike df-sup 7404 for strong orderings, the supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the field. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwval.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwval  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, R    x, X, y    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwval
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  U. U. R  =  U. U. R
21spwval2 14611 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e. 
U. U. R ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
3 spwval.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
4 psdmrn 14594 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
54simpld 446 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
63, 5syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  U. U. R )
76raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
87anbi2d 685 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e. 
U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
96, 8riotaeqbidv 6511 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  =  ( iota_ x  e. 
U. U. R ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
109adantr 452 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  =  ( iota_ x  e.  U. U. R
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e. 
U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
112, 10eqtr4d 2439 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   PosetRelcps 14579    sup
w cspw 14581
This theorem is referenced by:  spwex  14616  spwpr4  14618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-ps 14584  df-spw 14586
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