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Theorem spwval 14334
Description: Value of supremum under a weak ordering. Read  R  sup w  A as "the  R-supremum of  A."  U. U. R is the field of a relation  R by relfld 5198. Unlike df-sup 7194 for strong orderings, the supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the field. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwval.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwval  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, R    x, X, y    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwval
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  U. U. R  =  U. U. R
21spwval2 14333 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e. 
U. U. R ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
3 spwval.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
4 psdmrn 14316 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
54simpld 445 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
63, 5syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  U. U. R )
76raleqdv 2742 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
87anbi2d 684 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e. 
U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
96, 8riotaeqbidv 6307 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  =  ( iota_ x  e. 
U. U. R ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
109adantr 451 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  =  ( iota_ x  e.  U. U. R
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e. 
U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
112, 10eqtr4d 2318 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   PosetRelcps 14301    sup
w cspw 14303
This theorem is referenced by:  spwex  14338  spwpr4  14340  supdef  25262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-ps 14306  df-spw 14308
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