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Theorem spwval 14662
Description: Value of supremum under a weak ordering. Read  R  sup w  A as "the  R-supremum of  A."  U. U. R is the field of a relation  R by relfld 5398. Unlike df-sup 7449 for strong orderings, the supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the field. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwval.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwval  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, R    x, X, y    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem spwval
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  U. U. R  =  U. U. R
21spwval2 14661 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e. 
U. U. R ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
3 spwval.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
4 psdmrn 14644 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
54simpld 447 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
63, 5syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  U. U. R )
76raleqdv 2912 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
87anbi2d 686 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e. 
U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
96, 8riotaeqbidv 6555 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  =  ( iota_ x  e. 
U. U. R ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
109adantr 453 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  =  ( iota_ x  e.  U. U. R
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e. 
U. U. R ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
112, 10eqtr4d 2473 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   ran crn 4882  (class class class)co 6084   iota_crio 6545   PosetRelcps 14629    sup
w cspw 14631
This theorem is referenced by:  spwex  14666  spwpr4  14668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-ps 14634  df-spw 14636
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