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Theorem spwval2 14648
Description: Value of supremum under a weak ordering. Read  R  sup w  A as "the  R-supremum of  A."  U. U. R is the field of a relation  R by relfld 5387. Unlike df-sup 7438 for strong orderings, the supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the field. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwval2.1  |-  X  = 
U. U. R
Assertion
Ref Expression
spwval2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, R    x, X, y, z    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)

Proof of Theorem spwval2
Dummy variables  w  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 unieq 4016 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
32unieqd 4018 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
4 spwval2.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. U. R
53, 4syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  X )
6 breq 4206 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
y r x  <->  y R x ) )
76ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  w  y r x  <->  A. y  e.  w  y R x ) )
8 breq 4206 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
z r y  <->  z R
y ) )
98ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( A. z  e.  w  z r y  <->  A. z  e.  w  z R
y ) )
10 breq 4206 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
x r y  <->  x R
y ) )
119, 10imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. z  e.  w  z r y  ->  x r y )  <->  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) ) )
125, 11raleqbidv 2908 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  U. U. r ( A. z  e.  w  z r
y  ->  x r
y )  <->  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y ) ) )
137, 12anbi12d 692 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. y  e.  w  y r x  /\  A. y  e. 
U. U. r ( A. z  e.  w  z
r y  ->  x
r y ) )  <-> 
( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
145, 13riotaeqbidv 6544 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( iota_ x  e.  U. U. r ( A. y  e.  w  y r
x  /\  A. y  e.  U. U. r ( A. z  e.  w  z r y  ->  x r y ) ) )  =  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
15 raleq 2896 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  y R x  <->  A. y  e.  A  y R x ) )
16 raleq 2896 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  ( A. z  e.  w  z R y  <->  A. z  e.  A  z R
y ) )
1716imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y )  <->  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )
1817ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
1915, 18anbi12d 692 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) )  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
2019riotabidv 6543 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y ) ) )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
21 df-spw 14623 . . 3  |-  sup w  =  ( r  e.  PosetRel
,  w  e.  _V  |->  ( iota_ x  e.  U. U. r ( A. y  e.  w  y r
x  /\  A. y  e.  U. U. r ( A. z  e.  w  z r y  ->  x r y ) ) ) )
22 riotaex 6545 . . 3  |-  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  e.  _V
2314, 20, 21, 22ovmpt2 6201 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
241, 23sylan2 461 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   U.cuni 4007   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   PosetRelcps 14616    sup
w cspw 14618
This theorem is referenced by:  spwval  14649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-spw 14623
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