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Theorem spwval2 14349
Description: Value of supremum under a weak ordering. Read  R  sup w  A as "the  R-supremum of  A."  U. U. R is the field of a relation  R by relfld 5214. Unlike df-sup 7210 for strong orderings, the supremum exists iff  R  sup w  A belongs to the field. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwval2.1  |-  X  = 
U. U. R
Assertion
Ref Expression
spwval2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, R    x, X, y, z    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)

Proof of Theorem spwval2
Dummy variables  w  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 unieq 3852 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
32unieqd 3854 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
4 spwval2.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. U. R
53, 4syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  X )
6 breq 4041 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
y r x  <->  y R x ) )
76ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  w  y r x  <->  A. y  e.  w  y R x ) )
8 breq 4041 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
z r y  <->  z R
y ) )
98ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( A. z  e.  w  z r y  <->  A. z  e.  w  z R
y ) )
10 breq 4041 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
x r y  <->  x R
y ) )
119, 10imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. z  e.  w  z r y  ->  x r y )  <->  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) ) )
125, 11raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  U. U. r ( A. z  e.  w  z r
y  ->  x r
y )  <->  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y ) ) )
137, 12anbi12d 691 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. y  e.  w  y r x  /\  A. y  e. 
U. U. r ( A. z  e.  w  z
r y  ->  x
r y ) )  <-> 
( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
145, 13riotaeqbidv 6323 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( iota_ x  e.  U. U. r ( A. y  e.  w  y r
x  /\  A. y  e.  U. U. r ( A. z  e.  w  z r y  ->  x r y ) ) )  =  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
15 raleq 2749 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  y R x  <->  A. y  e.  A  y R x ) )
16 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  ( A. z  e.  w  z R y  <->  A. z  e.  A  z R
y ) )
1716imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y )  <->  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )
1817ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
1915, 18anbi12d 691 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R
y  ->  x R
y ) )  <->  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
2019riotabidv 6322 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  w  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  w  z R y  ->  x R y ) ) )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) ) )
21 df-spw 14324 . . 3  |-  sup w  =  ( r  e.  PosetRel
,  w  e.  _V  |->  ( iota_ x  e.  U. U. r ( A. y  e.  w  y r
x  /\  A. y  e.  U. U. r ( A. z  e.  w  z r y  ->  x r y ) ) ) )
22 riotaex 6324 . . 3  |-  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )  e.  _V
2314, 20, 21, 22ovmpt2 5999 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
241, 23sylan2 460 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   U.cuni 3843   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   PosetRelcps 14317    sup
w cspw 14319
This theorem is referenced by:  spwval  14350  supexr  25734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-spw 14324
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