Theorem sq01t 6652

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1.

Assertion

Ref	Expression
sq01t	|- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A = 0 \/ A = 1)))

Proof of Theorem sq01t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqvalt 6610	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A^2) = (A x. A))
2		ax1id 5294	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
3	2	eqcomd 1483	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> A = (A x. 1))
4	1, 3	eqeq12d 1492	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A x. A) = (A x. 1)))
5	4	adantr 391	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A <-> (A x. A) = (A x. 1)))
6		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7		mulcantOLD 5703	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
8	6, 7	mp3anl3 914	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A e. CC) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
9	8	anabsan 506	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
10	5, 9	bitrd 530	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A <-> A = 1))
11	10	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A -> A = 1))
12	11	ex 373	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A =/= 0 -> ((A^2) = A -> A = 1)))
13	12	com23 32	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((A^2) = A -> (A =/= 0 -> A = 1)))
14	13	imp 350	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (A =/= 0 -> A = 1))
15		df-ne 1590	. . . . 5 |- (A =/= 0 <-> -. A = 0)
16	14, 15	syl5ibr 207	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (-. A = 0 -> A = 1))
17	16	orrd 233	. . 3 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (A = 0 \/ A = 1))
18	17	ex 373	. 2 |- (A e. CC -> ((A^2) = A -> (A = 0 \/ A = 1)))
19		sq0 6636	. . . 4 |- (0^2) = 0
20		opreq1 3974	. . . 4 |- (A = 0 -> (A^2) = (0^2))
21		id 59	. . . 4 |- (A = 0 -> A = 0)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 1535	. . 3 |- (A = 0 -> (A^2) = A)
23		sq1 6638	. . . 4 |- (1^2) = 1
24		opreq1 3974	. . . 4 |- (A = 1 -> (A^2) = (1^2))
25		id 59	. . . 4 |- (A = 1 -> A = 1)
26	23, 24, 25	3eqtr4a 1535	. . 3 |- (A = 1 -> (A^2) = A)
27	22, 26	jaoi 341	. 2 |- ((A = 0 \/ A = 1) -> (A^2) = A)
28	18, 27	impbid1 519	1 |- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A = 0 \/ A = 1)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251  2c2 5963  ^cexp 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain