Theorem sqabsaddt 6848

Description: Square of absolute value of sum. Proposition 10-3.7(g) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
sqabsaddt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))))

Proof of Theorem sqabsaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjaddt 6812	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A + B)) = ((*` A) + (*` B)))
2	1	opreq2d 3976	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) x. (*` (A + B))) = ((A + B) x. ((*` A) + (*` B))))
3		cjclt 6764	. . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
4		cjclt 6764	. . . . 5 |- (B e. CC -> (*` B) e. CC)
5	3, 4	anim12i 333	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) e. CC /\ (*` B) e. CC))
6		muladdt 5421	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ ((*` A) e. CC /\ (*` B) e. CC)) -> ((A + B) x. ((*` A) + (*` B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
7	5, 6	mpdan 704	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) x. ((*` A) + (*` B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
8	2, 7	eqtrd 1507	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) x. (*` (A + B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
9		axaddcl 5271	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
10		absvalsqt 6835	. . 3 |- ((A + B) e. CC -> ((abs` (A + B))^2) = ((A + B) x. (*` (A + B))))
11	9, 10	syl 10	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A + B))^2) = ((A + B) x. (*` (A + B))))
12		absvalsqt 6835	. . . 4 |- (A e. CC -> ((abs` A)^2) = (A x. (*` A)))
13		absvalsqt 6835	. . . . 5 |- (B e. CC -> ((abs` B)^2) = (B x. (*` B)))
14		axmulcom 5276	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (B x. (*` B)) = ((*` B) x. B))
15	4, 14	mpdan 704	. . . . 5 |- (B e. CC -> (B x. (*` B)) = ((*` B) x. B))
16	13, 15	eqtrd 1507	. . . 4 |- (B e. CC -> ((abs` B)^2) = ((*` B) x. B))
17	12, 16	opreqan12d 3979	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) = ((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)))
18		axmulcl 5273	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (A x. (*` B)) e. CC)
19	18, 4	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. (*` B)) e. CC)
20		addcjt 6815	. . . . 5 |- ((A x. (*` B)) e. CC -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
21	19, 20	syl 10	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
22		cjmult 6813	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. (*` (*` B))))
23	22, 4	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. (*` (*` B))))
24		cjcjt 6811	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (*` (*` B)) = B)
25	24	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (*` B)) = B)
26	25	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) x. (*` (*` B))) = ((*` A) x. B))
27	23, 26	eqtrd 1507	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. B))
28	27	opreq2d 3976	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B)))
29	21, 28	eqtr3d 1509	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) = ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B)))
30	17, 29	opreq12d 3978	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
31	8, 11, 30	3eqtr4d 1517	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237   x. cmul 5239  2c2 5961  ^cexp 6568  Recre 6747  *ccj 6749  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  sqabsadd 6850  cnph 8478

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain