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Theorem sqff1o 20436
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 
N to the powerset of the prime divisors of  N. Among other things, this implies that a number has  2 ^ k squarefree divisors where  k is the number of prime divisors, and a squarefree number has  2 ^ k divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to  F takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
sqff1o.2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
sqff1o.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqff1o  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Distinct variable groups:    n, p, x, G    n, N, p, x    S, n, p
Allowed substitution hints:    S( x)    F( x, n, p)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables  k 
q  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
2 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
mmu `  x )  =  ( mmu `  n ) )
32neeq1d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( mmu `  x
)  =/=  0  <->  (
mmu `  n )  =/=  0 ) )
4 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  N  <->  n  ||  N
) )
53, 4anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
75, 6elrab2 2938 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  S  <->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
87simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  /\  n  ||  N ) )
98simprd 449 . . . . . 6  |-  ( n  e.  S  ->  n  ||  N )
109ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  ||  N
)
11 prmz 12778 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
1211adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
13 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  S
)
1413, 7sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
1514simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  NN )
1615nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  ZZ )
17 nnz 10061 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1817ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
19 dvdstr 12578 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( p  ||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N
) )
2012, 16, 18, 19syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N ) )
2110, 20mpan2d 655 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  n  ->  p  ||  N
) )
2221ss2rabdv 3267 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
23 nnex 9768 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
24 prmnn 12777 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
2524ssriv 3197 . . . . . 6  |-  Prime  C_  NN
2623, 25ssexi 4175 . . . . 5  |-  Prime  e.  _V
2726rabex 4181 . . . 4  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  _V
2827elpw 3644 . . 3  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
2922, 28sylibr 203 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
30 1nn0 9997 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 0nn0 9996 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
3230, 31keepel 3635 . . . . . . . . 9  |-  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
3332rgenw 2623 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e. 
NN0
34 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
3534fmpt 5697 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0  <->  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
3633, 35mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
38 nn0ex 9987 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
3938, 26elmap 6812 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  <->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
4037, 39sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime ) )
41 fzfi 11050 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
42 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0  ->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime )
43 elpreima 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime  ->  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) 
<->  ( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) ) )
4436, 42, 43mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  <-> 
( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) )
45 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4645ifbid 3596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
4730, 31keepel 3635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
4847elexi 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
4946, 34, 48fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
5049eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN  <->  if (
x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN ) )
5150biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5244, 51sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
53 0nnn 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  0  e.  NN
54 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
5554eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  z  -> 
( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
5653, 55mtbiri 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  z  ->  -.  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5756con4i 122 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  e.  z )
5852, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  x  e.  z )
5958ssriv 3197 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  C_  z
60 elpwi 3646 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  ->  z  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
6160adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
62 rabss2 3269 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prime  C_  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N } )
6325, 62ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N }
64 sgmss 20360 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6663, 65syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6761, 66sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_  ( 1 ... N
) )
6859, 67syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )
69 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
7041, 68, 69sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
71 cnveq 4871 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  `' y  =  `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
7271imaeq1d 5027 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( `' y
" NN )  =  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
7372eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( ( `' y " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
)
7473elrab 2936 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  <->  ( (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) )
7540, 70, 74sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
76 sqff1o.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
77 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  =  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
7876, 771arith 12990 . . . . . 6  |-  G : NN
-1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
79 f1ocnv 5501 . . . . . 6  |-  ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } -1-1-onto-> NN )
80 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } -1-1-onto-> NN  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN )
8178, 79, 80mp2b 9 . . . . 5  |-  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN
8281ffvelrni 5680 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
8375, 82syl 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
84 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
8578, 75, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
86761arithlem1 12986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8783, 86syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8885, 87eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8988fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q
)  =  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q ) )
90 elequ1 1699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  q  ->  (
k  e.  z  <->  q  e.  z ) )
9190ifbid 3596 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  q  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9230, 31keepel 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
9392elexi 2810 . . . . . . . . . 10  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
9491, 34, 93fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9589, 94sylan9req 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
96 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
97 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
98 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( q 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  e.  _V
9996, 97, 98fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10099adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10195, 100eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
102 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
103 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
104 1le1 9412 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
105 0le1 9313 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
106102, 103, 104, 105keephyp 3632 . . . . . . 7  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1
107101, 106syl6eqbrr 4077 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
108107ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
109 issqf 20390 . . . . . 6  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
11083, 109syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
111108, 110mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0
)
112 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
11461sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
115 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
p  ||  N  <->  q  ||  N ) )
116115elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } 
<->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
117114, 116sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
118117simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  ||  N )
119117simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  Prime )
120 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  N  e.  NN )
121 pcelnn 12938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  N
)  e.  NN  <->  q  ||  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( (
q  pCnt  N )  e.  NN  <->  q  ||  N
) )
123118, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  pCnt  N )  e.  NN )
124123nnge1d 9804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  1  <_  ( q  pCnt  N )
)
125113, 124eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) )
126125ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
127126adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  e.  z  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
128 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  q  e.  Prime )
12917ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
130 pcge0 12930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( q  pCnt  N
) )
131128, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  0  <_  (
q  pCnt  N )
)
132 iffalse 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
133132breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
)  <->  0  <_  (
q  pCnt  N )
) )
134131, 133syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
135127, 134pm2.61d 150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
136101, 135eqbrtrrd 4061 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
137136ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
13883nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ )
13917adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
140 pc2dvds 12947 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
141138, 139, 140syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
142137, 141mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
)
143111, 142jca 518 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
144 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( mmu `  x
)  =  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
145144neeq1d 2472 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( mmu `  x )  =/=  0  <->  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0 ) )
146 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( x  ||  N  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
147145, 146anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
148147, 6elrab2 2938 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S  <->  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  /\  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
14983, 143, 148sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S
)
150 eqcom 2298 . . 3  |-  ( n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n )
1517simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  n  e.  NN )
152151ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  n  e.  NN )
15326mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
15476fvmpt2 5624 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) )
155152, 153, 154sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( G `  n )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
156155eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )
15778a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } )
15875adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
159 f1ocnvfvb 5811 . . . . 5  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  n  e.  NN  /\  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( G `
 n )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
160157, 152, 158, 159syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
16126a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  Prime  e. 
_V )
162 0cn 8847 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
163162a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  e.  CC )
164 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
165164a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  1  e.  CC )
166 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
167166necomi 2541 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
168167a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  =/=  1 )
169161, 163, 165, 168pw2f1olem 6982 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( z  e.  ~P Prime  /\  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
170 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  Prime
171 sspwb 4239 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  Prime  <->  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_ 
~P Prime )
172170, 171mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  ~P Prime
173 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
174172, 173sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P Prime )
175174biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( z  e. 
~P Prime  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
176 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
177151adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  n  e.  NN )
178 pccl 12918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN0 )
179176, 177, 178syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  NN0 )
180 elnn0 9983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN0  <->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
181179, 180sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
182181orcomd 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  e.  NN ) )
1838simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  S  ->  (
mmu `  n )  =/=  0 )
184183adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( mmu `  n
)  =/=  0 )
185 issqf 20390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  n )  <_  1
) )
186177, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( ( mmu `  n )  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  n )  <_  1 ) )
187184, 186mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
188187r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
189 nnle1eq1 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN  ->  ( (
p  pCnt  n )  <_  1  <->  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
190188, 189syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  ->  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) )
191190orim2d 813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( ( p  pCnt  n )  =  0  \/  (
p  pCnt  n )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  =  0  \/  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) ) )
192182, 191mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
193 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p 
pCnt  n )  e.  _V
194193elpr 3671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
195192, 194sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 } )
196 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )
197195, 196fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
198197adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
199 prex 4233 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
200199, 26elmap 6812 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  <-> 
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
201198, 200sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime ) )
202201biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
203169, 175, 2023bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) )
204196mptiniseg 5183 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 } )
20530, 204ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 }
206 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  =  1 )
207 1nn 9773 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
208206, 207syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN )
209208, 190impbid2 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
( p  pCnt  n
)  e.  NN ) )
210 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
211 pcelnn 12938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  e.  NN  <->  p  ||  n
) )
212210, 15, 211syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  <->  p 
||  n ) )
213209, 212bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
p  ||  n )
)
214213rabbidva 2792 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n
)  =  1 }  =  { p  e. 
Prime  |  p  ||  n } )
215214adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p 
pCnt  n )  =  1 }  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n } )
216205, 215syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } )  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
217216eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
218203, 217bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
219156, 160, 2183bitr3d 274 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
220150, 219syl5bb 248 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
2211, 29, 149, 220f1o2d 6085 1  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   mmucmu 20348
This theorem is referenced by:  musum  20447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-mu 20354
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