Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Unicode version

Theorem sqff1o 20436
 Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number to the powerset of the prime divisors of . Among other things, this implies that a number has squarefree divisors where is the number of prime divisors, and a squarefree number has divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1
sqff1o.2
sqff1o.3
Assertion
Ref Expression
sqff1o
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2
2 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
32neeq1d 2472 . . . . . . . . . 10
4 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
53, 4anbi12d 691 . . . . . . . . 9
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9
75, 6elrab2 2938 . . . . . . . 8
87simprbi 450 . . . . . . 7
98simprd 449 . . . . . 6
109ad2antlr 707 . . . . 5
11 prmz 12778 . . . . . . 7
1211adantl 452 . . . . . 6
13 simplr 731 . . . . . . . . 9
1413, 7sylib 188 . . . . . . . 8
1514simpld 445 . . . . . . 7
1615nnzd 10132 . . . . . 6
17 nnz 10061 . . . . . . 7
1817ad2antrr 706 . . . . . 6
19 dvdstr 12578 . . . . . 6
2012, 16, 18, 19syl3anc 1182 . . . . 5
2110, 20mpan2d 655 . . . 4
2221ss2rabdv 3267 . . 3
23 nnex 9768 . . . . . 6
24 prmnn 12777 . . . . . . 7
2524ssriv 3197 . . . . . 6
2623, 25ssexi 4175 . . . . 5
2726rabex 4181 . . . 4
2827elpw 3644 . . 3
2922, 28sylibr 203 . 2
30 1nn0 9997 . . . . . . . . . 10
31 0nn0 9996 . . . . . . . . . 10
3230, 31keepel 3635 . . . . . . . . 9
3332rgenw 2623 . . . . . . . 8
34 eqid 2296 . . . . . . . . 9
3534fmpt 5697 . . . . . . . 8
3633, 35mpbi 199 . . . . . . 7
3736a1i 10 . . . . . 6
38 nn0ex 9987 . . . . . . 7
3938, 26elmap 6812 . . . . . 6
4037, 39sylibr 203 . . . . 5
41 fzfi 11050 . . . . . 6
42 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
43 elpreima 5661 . . . . . . . . . . 11
4436, 42, 43mp2b 9 . . . . . . . . . 10
45 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . . . 14
4645ifbid 3596 . . . . . . . . . . . . 13
4730, 31keepel 3635 . . . . . . . . . . . . . 14
4847elexi 2810 . . . . . . . . . . . . 13
4946, 34, 48fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12
5049eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11
5150biimpa 470 . . . . . . . . . 10
5244, 51sylbi 187 . . . . . . . . 9
53 0nnn 9793 . . . . . . . . . . 11
54 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . 12
5554eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11
5653, 55mtbiri 294 . . . . . . . . . 10
5756con4i 122 . . . . . . . . 9
5852, 57syl 15 . . . . . . . 8
5958ssriv 3197 . . . . . . 7
60 elpwi 3646 . . . . . . . . 9
6160adantl 452 . . . . . . . 8
62 rabss2 3269 . . . . . . . . . 10
6325, 62ax-mp 8 . . . . . . . . 9
64 sgmss 20360 . . . . . . . . . 10
6564adantr 451 . . . . . . . . 9
6663, 65syl5ss 3203 . . . . . . . 8
6761, 66sstrd 3202 . . . . . . 7
6859, 67syl5ss 3203 . . . . . 6
69 ssfi 7099 . . . . . 6
7041, 68, 69sylancr 644 . . . . 5
71 cnveq 4871 . . . . . . . 8
7271imaeq1d 5027 . . . . . . 7
7372eleq1d 2362 . . . . . 6
7473elrab 2936 . . . . 5
7540, 70, 74sylanbrc 645 . . . 4
76 sqff1o.3 . . . . . . 7
77 eqid 2296 . . . . . . 7
7876, 771arith 12990 . . . . . 6
79 f1ocnv 5501 . . . . . 6
80 f1of 5488 . . . . . 6
8178, 79, 80mp2b 9 . . . . 5
8281ffvelrni 5680 . . . 4
8375, 82syl 15 . . 3
84 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . 12
8578, 75, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
86761arithlem1 12986 . . . . . . . . . . . 12
8783, 86syl 15 . . . . . . . . . . 11
8885, 87eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10
8988fveq1d 5543 . . . . . . . . 9
90 elequ1 1699 . . . . . . . . . . 11
9190ifbid 3596 . . . . . . . . . 10
9230, 31keepel 3635 . . . . . . . . . . 11
9392elexi 2810 . . . . . . . . . 10
9491, 34, 93fvmpt 5618 . . . . . . . . 9
9589, 94sylan9req 2349 . . . . . . . 8
96 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10
97 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
98 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
9996, 97, 98fvmpt 5618 . . . . . . . . 9
10099adantl 452 . . . . . . . 8
10195, 100eqtr3d 2330 . . . . . . 7
102 breq1 4042 . . . . . . . 8
103 breq1 4042 . . . . . . . 8
104 1le1 9412 . . . . . . . 8
105 0le1 9313 . . . . . . . 8
106102, 103, 104, 105keephyp 3632 . . . . . . 7
107101, 106syl6eqbrr 4077 . . . . . 6
108107ralrimiva 2639 . . . . 5
109 issqf 20390 . . . . . 6
11083, 109syl 15 . . . . 5
111108, 110mpbird 223 . . . 4
112 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . 12
113112adantl 452 . . . . . . . . . . 11
11461sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15
117114, 116sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14
118117simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13
119117simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14
120 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14
121 pcelnn 12938 . . . . . . . . . . . . . 14
122119, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
123118, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12
124123nnge1d 9804 . . . . . . . . . . 11
125113, 124eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10
126125ex 423 . . . . . . . . 9
127126adantr 451 . . . . . . . 8
128 simpr 447 . . . . . . . . . 10
12917ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
130 pcge0 12930 . . . . . . . . . 10
131128, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . . 9
132 iffalse 3585 . . . . . . . . . 10
133132breq1d 4049 . . . . . . . . 9
134131, 133syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8
135127, 134pm2.61d 150 . . . . . . 7
136101, 135eqbrtrrd 4061 . . . . . 6
137136ralrimiva 2639 . . . . 5
13883nnzd 10132 . . . . . 6
13917adantr 451 . . . . . 6
140 pc2dvds 12947 . . . . . 6
141138, 139, 140syl2anc 642 . . . . 5
142137, 141mpbird 223 . . . 4
143111, 142jca 518 . . 3
144 fveq2 5541 . . . . . 6
145144neeq1d 2472 . . . . 5
146 breq1 4042 . . . . 5
147145, 146anbi12d 691 . . . 4
148147, 6elrab2 2938 . . 3
14983, 143, 148sylanbrc 645 . 2
150 eqcom 2298 . . 3
1517simplbi 446 . . . . . . 7
152151ad2antrl 708 . . . . . 6
15326mptex 5762 . . . . . 6
15476fvmpt2 5624 . . . . . 6
155152, 153, 154sylancl 643 . . . . 5
156155eqeq1d 2304 . . . 4
15778a1i 10 . . . . 5
15875adantrl 696 . . . . 5
159 f1ocnvfvb 5811 . . . . 5
160157, 152, 158, 159syl3anc 1182 . . . 4
16126a1i 10 . . . . . . 7
162 0cn 8847 . . . . . . . 8
163162a1i 10 . . . . . . 7
164 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8
165164a1i 10 . . . . . . 7
166 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . 9
167166necomi 2541 . . . . . . . 8
168167a1i 10 . . . . . . 7
169161, 163, 165, 168pw2f1olem 6982 . . . . . 6
170 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9
171 sspwb 4239 . . . . . . . . 9
172170, 171mpbi 199 . . . . . . . 8
173 simprr 733 . . . . . . . 8
174172, 173sseldi 3191 . . . . . . 7
175174biantrurd 494 . . . . . 6
176 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
177151adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
178 pccl 12918 . . . . . . . . . . . . . . 15
179176, 177, 178syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14
180 elnn0 9983 . . . . . . . . . . . . . 14
181179, 180sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13
182181orcomd 377 . . . . . . . . . . . 12
1838simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
184183adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
185 issqf 20390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
186177, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187184, 186mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
188187r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . 14
189 nnle1eq1 9790 . . . . . . . . . . . . . 14
190188, 189syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13
191190orim2d 813 . . . . . . . . . . . 12
192182, 191mpd 14 . . . . . . . . . . 11
193 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12
194193elpr 3671 . . . . . . . . . . 11
195192, 194sylibr 203 . . . . . . . . . 10
196 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
197195, 196fmptd 5700 . . . . . . . . 9
198197adantrr 697 . . . . . . . 8
199 prex 4233 . . . . . . . . 9
200199, 26elmap 6812 . . . . . . . 8
201198, 200sylibr 203 . . . . . . 7
202201biantrurd 494 . . . . . 6
203169, 175, 2023bitr4d 276 . . . . 5
204196mptiniseg 5183 . . . . . . . 8
20530, 204ax-mp 8 . . . . . . 7
206 id 19 . . . . . . . . . . . 12
207 1nn 9773 . . . . . . . . . . . 12
208206, 207syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . 11
209208, 190impbid2 195 . . . . . . . . . 10
210 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
211 pcelnn 12938 . . . . . . . . . . 11
212210, 15, 211syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
213209, 212bitrd 244 . . . . . . . . 9
214213rabbidva 2792 . . . . . . . 8
215214adantrr 697 . . . . . . 7
216205, 215syl5eq 2340 . . . . . 6
217216eqeq2d 2307 . . . . 5
218203, 217bitrd 244 . . . 4
219156, 160, 2183bitr3d 274 . . 3
220150, 219syl5bb 248 . 2
2211, 29, 149, 220f1o2d 6085 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   wss 3165  cif 3578  cpw 3638  csn 3653  cpr 3654   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmap 6788  cfn 6879  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   cle 8884  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cfz 10798   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905  cmu 20348 This theorem is referenced by:  musum  20447 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-mu 20354
 Copyright terms: Public domain W3C validator