MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqlecan Unicode version

Theorem sqlecan 11414
Description: Cancel one factor of a square in a  <_ comparison. Unlike lemul1 9794, the common factor  A may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqlecan  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem sqlecan
StepHypRef Expression
1 0re 9024 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 leloe 9094 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
31, 2mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
4 recn 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
5 sqval 11368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
76breq1d 4163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A )
) )
873ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A ) ) )
9 lemul1 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A ) ) )
108, 9bitr4d 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) )
11103exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) ) ) )
1211exp4a 590 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( 0  <  A  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) ) )
1312pm2.43a 47 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  A  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
1413adantrd 455 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( 0  <  A  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
1514com23 74 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
16 sq0 11400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
17 0le0 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  0
1816, 17eqbrtri 4172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  <_ 
0
19 recn 9013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
2019mul01d 9197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
2118, 20syl5breqr 4189 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 ) )
2221adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 ) )
23 oveq1 6027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  A  ->  (
0 ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
24 oveq2 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  A  ->  ( B  x.  0 )  =  ( B  x.  A ) )
2523, 24breq12d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  A  ->  (
( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 )  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
) ) )
2625adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 )  <-> 
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A ) ) )
2722, 26mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A ) )
2827adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
) )
29 breq1 4156 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  B  <->  A  <_  B ) )
3029biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =  A  /\  0  <_  B )  ->  A  <_  B )
3130adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  <_  B )
3228, 312thd 232 . . . . . 6  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )
3332ex 424 . . . . 5  |-  ( 0  =  A  ->  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  =  A  -> 
( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
3515, 34jaod 370 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  \/  0  =  A
)  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
363, 35sylbid 207 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
3736imp31 422 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054   2c2 9981   ^cexp 11309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-seq 11251  df-exp 11310
  Copyright terms: Public domain W3C validator