MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr0 Unicode version

Theorem sqr0 11727
Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqr0  |-  ( sqr `  0 )  =  0

Proof of Theorem sqr0
StepHypRef Expression
1 0cn 8831 . . 3  |-  0  e.  CC
2 sqrval 11722 . . 3  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( sqr `  0 )  =  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( sqr `  0 )  =  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
4 sqr0lem 11726 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  <-> 
x  =  0 )
54biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  ->  x  =  0 )
65ex 423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  ->  x  =  0 ) )
7 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  =  0  /\  0  <_ 
( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
84, 7sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
96, 8impbid1 194 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  x  = 
0 ) )
1093ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  x  = 
0 ) )
1110riota5OLD 6331 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  0 )
121, 1, 11mp2an 653 . 2  |-  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)  =  0
133, 12eqtri 2303 1  |-  ( sqr `  0 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    e/ wnel 2447   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   CCcc 8735   0cc0 8737   _ici 8739    x. cmul 8742    <_ cle 8868   2c2 9795   RR+crp 10354   ^cexp 11104   Recre 11582   sqrcsqr 11718
This theorem is referenced by:  sqr00  11749  abs0  11770  cphsqrcl2  18622  cxpsqr  20050  loglesqr  20098  asin1  20190  normgt0  21706  norm0  21707  areacirc  24931  rrncmslem  26556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720
  Copyright terms: Public domain W3C validator