Theorem sqr2gt1lt2 6649

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
sqr2gt1lt2	|- (1 < (sqr` 2) /\ (sqr` 2) < 2)

Proof of Theorem sqr2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr1 6646	. . 3 |- (sqr` 1) = 1
2		1lt2 5975	. . . 4 |- 1 < 2
3		0re 5412	. . . . . 6 |- 0 e. RR
4		1re 5407	. . . . . 6 |- 1 e. RR
5		lt01 5653	. . . . . 6 |- 0 < 1
6	3, 4, 5	ltlei 5554	. . . . 5 |- 0 <_ 1
7		2re 5926	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2pos 5936	. . . . . 6 |- 0 < 2
9	3, 7, 8	ltlei 5554	. . . . 5 |- 0 <_ 2
10	4, 7	sqrlt 6638	. . . . 5 |- ((0 <_ 1 /\ 0 <_ 2) -> (1 < 2 <-> (sqr` 1) < (sqr` 2)))
11	6, 9, 10	mp2an 695	. . . 4 |- (1 < 2 <-> (sqr` 1) < (sqr` 2))
12	2, 11	mpbi 189	. . 3 |- (sqr` 1) < (sqr` 2)
13	1, 12	eqbrtrr 2626	. 2 |- 1 < (sqr` 2)
14	7, 8, 7, 8, 7, 8	sqrlem15 6617	. . . . 5 |- 2 < (2 + 2)
15		2p2e4 5948	. . . . 5 |- (2 + 2) = 4
16	14, 15	breqtr 2628	. . . 4 |- 2 < 4
17		4re 5929	. . . . . 6 |- 4 e. RR
18		4pos 5939	. . . . . 6 |- 0 < 4
19	3, 17, 18	ltlei 5554	. . . . 5 |- 0 <_ 4
20	7, 17	sqrlt 6638	. . . . 5 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ 4) -> (2 < 4 <-> (sqr` 2) < (sqr` 4)))
21	9, 19, 20	mp2an 695	. . . 4 |- (2 < 4 <-> (sqr` 2) < (sqr` 4))
22	16, 21	mpbi 189	. . 3 |- (sqr` 2) < (sqr` 4)
23		sqr4 6647	. . 3 |- (sqr` 4) = 2
24	22, 23	breqtr 2628	. 2 |- (sqr` 2) < 2
25	13, 24	pm3.2i 285	1 |- (1 < (sqr` 2) /\ (sqr` 2) < 2)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267   < clt 5458  2c2 5908  4c4 5910  sqrcsqr 6599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-sqr 6600

Copyright terms: Public domain