MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2gt1lt2 Structured version   Unicode version

Theorem sqr2gt1lt2 12070
Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqr2gt1lt2  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)

Proof of Theorem sqr2gt1lt2
StepHypRef Expression
1 sqr1 12067 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  =  1
2 1lt2 10132 . . . 4  |-  1  <  2
3 1re 9080 . . . . 5  |-  1  e.  RR
4 0le1 9541 . . . . 5  |-  0  <_  1
5 2re 10059 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 0re 9081 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
7 2pos 10072 . . . . . 6  |-  0  <  2
86, 5, 7ltleii 9186 . . . . 5  |-  0  <_  2
9 sqrlt 12057 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_ 
2 ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2
) ) )
103, 4, 5, 8, 9mp4an 655 . . . 4  |-  ( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2 ) )
112, 10mpbi 200 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  < 
( sqr `  2
)
121, 11eqbrtrri 4225 . 2  |-  1  <  ( sqr `  2
)
13 2lt4 10136 . . . 4  |-  2  <  4
14 4re 10063 . . . . 5  |-  4  e.  RR
15 4pos 10076 . . . . . 6  |-  0  <  4
166, 14, 15ltleii 9186 . . . . 5  |-  0  <_  4
17 sqrlt 12057 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <_ 
4 ) )  -> 
( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
) ) )
185, 8, 14, 16, 17mp4an 655 . . . 4  |-  ( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4 ) )
1913, 18mpbi 200 . . 3  |-  ( sqr `  2 )  < 
( sqr `  4
)
20 sqr4 12068 . . 3  |-  ( sqr `  4 )  =  2
2119, 20breqtri 4227 . 2  |-  ( sqr `  2 )  <  2
2212, 21pm3.2i 442 1  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    < clt 9110    <_ cle 9111   2c2 10039   4c4 10041   sqrcsqr 12028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030
  Copyright terms: Public domain W3C validator