MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2gt1lt2 Unicode version

Theorem sqr2gt1lt2 11760
Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqr2gt1lt2  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)

Proof of Theorem sqr2gt1lt2
StepHypRef Expression
1 sqr1 11757 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  =  1
2 1lt2 9886 . . . 4  |-  1  <  2
3 1re 8837 . . . . 5  |-  1  e.  RR
4 0le1 9297 . . . . 5  |-  0  <_  1
5 2re 9815 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
7 2pos 9828 . . . . . 6  |-  0  <  2
86, 5, 7ltleii 8941 . . . . 5  |-  0  <_  2
9 sqrlt 11747 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_ 
2 ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2
) ) )
103, 4, 5, 8, 9mp4an 654 . . . 4  |-  ( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2 ) )
112, 10mpbi 199 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  < 
( sqr `  2
)
121, 11eqbrtrri 4044 . 2  |-  1  <  ( sqr `  2
)
13 2lt4 9890 . . . 4  |-  2  <  4
14 4re 9819 . . . . 5  |-  4  e.  RR
15 4pos 9832 . . . . . 6  |-  0  <  4
166, 14, 15ltleii 8941 . . . . 5  |-  0  <_  4
17 sqrlt 11747 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <_ 
4 ) )  -> 
( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
) ) )
185, 8, 14, 16, 17mp4an 654 . . . 4  |-  ( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4 ) )
1913, 18mpbi 199 . . 3  |-  ( sqr `  2 )  < 
( sqr `  4
)
20 sqr4 11758 . . 3  |-  ( sqr `  4 )  =  2
2119, 20breqtri 4046 . 2  |-  ( sqr `  2 )  <  2
2212, 21pm3.2i 441 1  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   4c4 9797   sqrcsqr 11718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720
  Copyright terms: Public domain W3C validator