Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2irrlem Unicode version

Theorem sqr2irrlem 12526
 Description: Lemma for irrationality of square root of 2. The core of the proof - if , then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqr2irrlem.1
sqr2irrlem.2
sqr2irrlem.3
Assertion
Ref Expression
sqr2irrlem

Proof of Theorem sqr2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12
2 sqrth 11848 . . . . . . . . . . . 12
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
4 sqr2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12
54oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11
63, 5syl5eqr 2329 . . . . . . . . . 10
7 sqr2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12
87zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11
9 sqr2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12
109nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11
119nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11
128, 10, 11sqdivd 11258 . . . . . . . . . 10
136, 12eqtrd 2315 . . . . . . . . 9
1413oveq1d 5873 . . . . . . . 8
158sqcld 11243 . . . . . . . . 9
169nnsqcld 11265 . . . . . . . . . 10
1716nncnd 9762 . . . . . . . . 9
1816nnne0d 9790 . . . . . . . . 9
1915, 17, 18divcan1d 9537 . . . . . . . 8
2014, 19eqtrd 2315 . . . . . . 7
2120oveq1d 5873 . . . . . 6
221a1i 10 . . . . . . 7
23 2ne0 9829 . . . . . . . 8
2423a1i 10 . . . . . . 7
2517, 22, 24divcan3d 9541 . . . . . 6
2621, 25eqtr3d 2317 . . . . 5
2726, 16eqeltrd 2357 . . . 4
2827nnzd 10116 . . 3
29 zesq 11224 . . . 4
307, 29syl 15 . . 3
3128, 30mpbird 223 . 2
321sqvali 11183 . . . . . . . 8
3332oveq2i 5869 . . . . . . 7
348, 22, 24sqdivd 11258 . . . . . . 7
3515, 22, 22, 24, 24divdiv1d 9567 . . . . . . 7
3633, 34, 353eqtr4a 2341 . . . . . 6
3726oveq1d 5873 . . . . . 6
3836, 37eqtrd 2315 . . . . 5
39 zsqcl 11174 . . . . . 6
4031, 39syl 15 . . . . 5
4138, 40eqeltrrd 2358 . . . 4
4216nnrpd 10389 . . . . . 6
4342rphalfcld 10402 . . . . 5
4443rpgt0d 10393 . . . 4
45 elnnz 10034 . . . 4
4641, 44, 45sylanbrc 645 . . 3
47 nnesq 11225 . . . 4
489, 47syl 15 . . 3
4946, 48mpbird 223 . 2
5031, 49jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cc0 8737   cmul 8742   clt 8867   cdiv 9423  cn 9746  c2 9795  cz 10024  cexp 11104  csqr 11718 This theorem is referenced by:  sqr2irr  12527 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
 Copyright terms: Public domain W3C validator