Theorem sqr2irrlem1 6724

Description: Lemma for irrationality of square root of 2. Technical lemma used to simplify the main induction step.

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem1.1	|- A e. NN
sqr2irrlem1.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem1	|- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> ((B < A /\ (A / 2) e. NN) /\ (B^2) = (2 x. ((A / 2)^2))))

Proof of Theorem sqr2irrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem1.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. NN
2	1	nnre 5931	. . . . . . . . 9 |- B e. RR
3	2	resqcl 6623	. . . . . . . 8 |- (B^2) e. RR
4	3	recn 5314	. . . . . . 7 |- (B^2) e. CC
5	4	mulid2 5333	. . . . . 6 |- (1 x. (B^2)) = (B^2)
6		1lt2 6028	. . . . . . 7 |- 1 < 2
7		1re 5435	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
8		2re 5979	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9	1	nnsqcl 6660	. . . . . . . . 9 |- (B^2) e. NN
10	9	nngt0 5950	. . . . . . . 8 |- 0 < (B^2)
11	7, 8, 3, 10	ltmul1i 5821	. . . . . . 7 |- (1 < 2 <-> (1 x. (B^2)) < (2 x. (B^2)))
12	6, 11	mpbi 189	. . . . . 6 |- (1 x. (B^2)) < (2 x. (B^2))
13	5, 12	eqbrtrr 2636	. . . . 5 |- (B^2) < (2 x. (B^2))
14		breq2 2623	. . . . 5 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> ((B^2) < (A^2) <-> (B^2) < (2 x. (B^2))))
15	13, 14	mpbiri 194	. . . 4 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (B^2) < (A^2))
16		0re 5440	. . . . . 6 |- 0 e. RR
17	1	nngt0 5950	. . . . . 6 |- 0 < B
18	16, 2, 17	ltlei 5581	. . . . 5 |- 0 <_ B
19		sqr2irrlem1.1	. . . . . . 7 |- A e. NN
20	19	nnre 5931	. . . . . 6 |- A e. RR
21	19	nngt0 5950	. . . . . 6 |- 0 < A
22	16, 20, 21	ltlei 5581	. . . . 5 |- 0 <_ A
23	2, 20	lt2sq 6624	. . . . 5 |- ((0 <_ B /\ 0 <_ A) -> (B < A <-> (B^2) < (A^2)))
24	18, 22, 23	mp2an 697	. . . 4 |- (B < A <-> (B^2) < (A^2))
25	15, 24	sylibr 200	. . 3 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> B < A)
26	20	resqcl 6623	. . . . . . 7 |- (A^2) e. RR
27	26	recn 5314	. . . . . 6 |- (A^2) e. CC
28		2cn 5980	. . . . . 6 |- 2 e. CC
29		2ne0 5990	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
30	27, 28, 4, 29	divmul 5705	. . . . 5 |- (((A^2) / 2) = (B^2) <-> (2 x. (B^2)) = (A^2))
31		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (((A^2) / 2) = (B^2) -> (((A^2) / 2) e. NN <-> (B^2) e. NN))
32	9, 31	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (((A^2) / 2) = (B^2) -> ((A^2) / 2) e. NN)
33	19	nnesq 6662	. . . . . 6 |- ((A / 2) e. NN <-> ((A^2) / 2) e. NN)
34	32, 33	sylibr 200	. . . . 5 |- (((A^2) / 2) = (B^2) -> (A / 2) e. NN)
35	30, 34	sylbir 201	. . . 4 |- ((2 x. (B^2)) = (A^2) -> (A / 2) e. NN)
36	35	eqcoms 1478	. . 3 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (A / 2) e. NN)
37	25, 36	jca 288	. 2 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (B < A /\ (A / 2) e. NN))
38	20, 8, 29	redivcl 5798	. . . . . . . . 9 |- (A / 2) e. RR
39	38	resqcl 6623	. . . . . . . 8 |- ((A / 2)^2) e. RR
40	8, 39	remulcl 5335	. . . . . . 7 |- (2 x. ((A / 2)^2)) e. RR
41	40	recn 5314	. . . . . 6 |- (2 x. ((A / 2)^2)) e. CC
42	28, 41, 4, 29	mulcanOLD 5687	. . . . 5 |- ((2 x. (2 x. ((A / 2)^2))) = (2 x. (B^2)) <-> (2 x. ((A / 2)^2)) = (B^2))
43	19	nncn 5932	. . . . . . . . . 10 |- A e. CC
44	43, 28, 29	sqdiv 6618	. . . . . . . . 9 |- ((A / 2)^2) = ((A^2) / (2^2))
45	28	sqval 6614	. . . . . . . . . 10 |- (2^2) = (2 x. 2)
46	45	opreq2i 3972	. . . . . . . . 9 |- ((A^2) / (2^2)) = ((A^2) / (2 x. 2))
47	44, 46	eqtr 1495	. . . . . . . 8 |- ((A / 2)^2) = ((A^2) / (2 x. 2))
48	47	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((A / 2)^2)) = ((2 x. 2) x. ((A^2) / (2 x. 2)))
49	39	recn 5314	. . . . . . . 8 |- ((A / 2)^2) e. CC
50	28, 28, 49	mulass 5325	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((A / 2)^2)) = (2 x. (2 x. ((A / 2)^2)))
51	28, 28	mulcl 5321	. . . . . . . 8 |- (2 x. 2) e. CC
52	28, 28, 29, 29	muln0 5699	. . . . . . . 8 |- (2 x. 2) =/= 0
53	27, 51, 52	divcan2 5716	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((A^2) / (2 x. 2))) = (A^2)
54	48, 50, 53	3eqtr3 1503	. . . . . 6 |- (2 x. (2 x. ((A / 2)^2))) = (A^2)
55	54	eqeq1i 1482	. . . . 5 |- ((2 x. (2 x. ((A / 2)^2))) = (2 x. (B^2)) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))
56	42, 55	bitr3 175	. . . 4 |- ((2 x. ((A / 2)^2)) = (B^2) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))
57	56	biimpr 152	. . 3 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (2 x. ((A / 2)^2)) = (B^2))
58	57	eqcomd 1480	. 2 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (B^2) = (2 x. ((A / 2)^2)))
59	37, 58	jca 288	1 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> ((B < A /\ (A / 2) e. NN) /\ (B^2) = (2 x. ((A / 2)^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  2c2 5961  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem2 6725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain