Theorem sqr2irrlem5 6658

Description: Lemma for irrationality of square root of 2. Eliminates hypotheses with weak deduction theorem.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem5	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((sqr` 2) = (A / B) <-> (A^2) = (2 x. (B^2))))

Proof of Theorem sqr2irrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3953	. . . 4 |- (A = if(A e. NN, A, 2) -> (A / B) = (if(A e. NN, A, 2) / B))
2	1	eqeq2d 1478	. . 3 |- (A = if(A e. NN, A, 2) -> ((sqr` 2) = (A / B) <-> (sqr` 2) = (if(A e. NN, A, 2) / B)))
3		opreq1 3953	. . . 4 |- (A = if(A e. NN, A, 2) -> (A^2) = (if(A e. NN, A, 2)^2))
4	3	eqeq1d 1475	. . 3 |- (A = if(A e. NN, A, 2) -> ((A^2) = (2 x. (B^2)) <-> (if(A e. NN, A, 2)^2) = (2 x. (B^2))))
5	2, 4	bibi12d 627	. 2 |- (A = if(A e. NN, A, 2) -> (((sqr` 2) = (A / B) <-> (A^2) = (2 x. (B^2))) <-> ((sqr` 2) = (if(A e. NN, A, 2) / B) <-> (if(A e. NN, A, 2)^2) = (2 x. (B^2)))))
6		opreq2 3954	. . . 4 |- (B = if(B e. NN, B, 2) -> (if(A e. NN, A, 2) / B) = (if(A e. NN, A, 2) / if(B e. NN, B, 2)))
7	6	eqeq2d 1478	. . 3 |- (B = if(B e. NN, B, 2) -> ((sqr` 2) = (if(A e. NN, A, 2) / B) <-> (sqr` 2) = (if(A e. NN, A, 2) / if(B e. NN, B, 2))))
8		opreq1 3953	. . . . 5 |- (B = if(B e. NN, B, 2) -> (B^2) = (if(B e. NN, B, 2)^2))
9	8	opreq2d 3961	. . . 4 |- (B = if(B e. NN, B, 2) -> (2 x. (B^2)) = (2 x. (if(B e. NN, B, 2)^2)))
10	9	eqeq2d 1478	. . 3 |- (B = if(B e. NN, B, 2) -> ((if(A e. NN, A, 2)^2) = (2 x. (B^2)) <-> (if(A e. NN, A, 2)^2) = (2 x. (if(B e. NN, B, 2)^2))))
11	7, 10	bibi12d 627	. 2 |- (B = if(B e. NN, B, 2) -> (((sqr` 2) = (if(A e. NN, A, 2) / B) <-> (if(A e. NN, A, 2)^2) = (2 x. (B^2))) <-> ((sqr` 2) = (if(A e. NN, A, 2) / if(B e. NN, B, 2)) <-> (if(A e. NN, A, 2)^2) = (2 x. (if(B e. NN, B, 2)^2)))))
12		2nn 5946	. . . 4 |- 2 e. NN
13	12	elimel 2384	. . 3 |- if(A e. NN, A, 2) e. NN
14	12	elimel 2384	. . 3 |- if(B e. NN, B, 2) e. NN
15	13, 14	sqr2irrlem4 6657	. 2 |- ((sqr` 2) = (if(A e. NN, A, 2) / if(B e. NN, B, 2)) <-> (if(A e. NN, A, 2)^2) = (2 x. (if(B e. NN, B, 2)^2)))
16	5, 11, 15	dedth2h 2377	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((sqr` 2) = (A / B) <-> (A^2) = (2 x. (B^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351  ` cfv 3172  (class class class)co 3948   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  2c2 5908  ^cexp 6500  sqrcsqr 6599

This theorem is referenced by:  sqr2irr 6659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600

Copyright terms: Public domain