MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrcld Unicode version

Theorem sqrcld 11935
Description: Closure of the square root function over the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sqrcld  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  CC )

Proof of Theorem sqrcld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 sqrcl 11861 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271   CCcc 8751   sqrcsqr 11734
This theorem is referenced by:  msqsqrd  11938  pythagtriplem12  12895  pythagtriplem14  12897  pythagtriplem16  12899  tchcphlem1  18681  tchcph  18683  efif1olem3  19922  efif1olem4  19923  loglesqr  20114  quad  20152  dcubic  20158  cubic  20161  quartlem2  20170  quartlem3  20171  quartlem4  20172  quart  20173  asinlem  20180  asinlem2  20181  asinlem3a  20182  asinlem3  20183  asinf  20184  asinneg  20198  efiasin  20200  sinasin  20201  asinbnd  20211  cosasin  20216  efiatan2  20229  cosatan  20233  cosatanne0  20234  atans2  20243  sqsscirc1  23307  dvreasin  25026  dvreacos  25027  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029  areacirclem5  25032  areacirc  25034  pell1234qrne0  27041  pell1234qrreccl  27042  pell1234qrmulcl  27043  pell14qrgt0  27047  pell1234qrdich  27049  pell14qrdich  27057  pell1qr1  27059  rmspecsqrnq  27094  rmxyneg  27108  rmxyadd  27109  rmxy1  27110  rmxy0  27111  jm2.22  27191  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem13  27938  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator