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Theorem sqreulem 11859
Description: Lemma for sqreu 11860: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
sqreulem.1  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqreulem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem
StepHypRef Expression
1 sqreulem.1 . . . . 5  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
21oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )
3 abscl 11779 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
4 absge0 11788 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
5 resqrcl 11755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
76recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  CC )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  CC )
93recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10 addcl 8835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
119, 10mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
13 abscl 11779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1411, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1514recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
17 abs00 11790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1811, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1918necon3bid 2494 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 ) )
2019biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0 )
2112, 16, 20divcld 9552 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
228, 21sqmuld 11273 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
232, 22syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
243adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
254adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
26 resqrth 11757 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2812, 16, 20sqdivd 11274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  / 
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) ) )
29 absvalsq 11781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
30 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
31 mulass 8841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
3230, 31mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( abs `  A
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
339, 32mpancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
34 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
3530, 9, 34sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
36 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3735, 36mpancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3833, 37eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A ) )  =  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3929, 38oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
40 cjcl 11606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
41 adddi 8842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4240, 35, 41mpd3an23 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
* `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4339, 42eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
44 sqval 11179 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
4543, 44oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
46 binom2 11234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
479, 46mpancom 650 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
48 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
4940, 35addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
5048, 49, 48adddid 8875 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
5145, 47, 503eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
529, 35mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
539, 40mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  e.  CC )
5452, 53addcomd 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
559, 9mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
56552timesd 9970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) ) )
57 mul12 8994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
5830, 57mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
599, 9, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
609sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) )
61 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  A ) )
6240, 61mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6329, 60, 623eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6463oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) ) )
6556, 59, 643eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
6665oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) ) )
679, 40, 35adddid 8875 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
6854, 66, 673eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
6968oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
70 cjadd 11642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A
) ) )
719, 70mpancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `
 A ) ) )
723cjred 11727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
7372oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7471, 73eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7574oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) ) )
769, 48, 9, 40muladdd 9253 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
7775, 76eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
78 absvalsq 11781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
7911, 78syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
80 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  A
)  e.  CC )
8140, 80mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8255, 81addcld 8870 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  e.  CC )
83 mulcl 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
849, 83mpancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8582, 53, 84addassd 8873 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
8677, 79, 853eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) )
879, 49, 48adddid 8875 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
8869, 86, 873eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
8951, 88oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9089adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A ) ^
2 )  /  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9128, 90eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9227, 91oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
93 addcl 8835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
9449, 93mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
959, 48, 94mul12d 9037 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9695oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
9796adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
989adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
99 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
10094, 99mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
101100adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
1029, 94mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
103102adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
104 sqeq0 11184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10515, 104syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10688eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
107105, 106, 183bitr3rd 275 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
108107necon3bid 2494 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =/=  0 ) )
109108biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =/=  0 )
11098, 101, 103, 109divassd 9587 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
111 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
112111, 103, 109divcan4d 9558 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  A )
11397, 110, 1123eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )  =  A )
11423, 92, 1133eqtrd 2332 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  A )
1156adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  RR )
11611addcjd 11713 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
117 2re 9831 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
11811recld 11695 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )
119 remulcl 8838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) )  e.  RR )
120117, 118, 119sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
121116, 120eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR )
122121adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
12314adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR )
124122, 123, 20redivcld 9604 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
125115, 124remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR )
126 sqrge0 11759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
1273, 4, 126syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
128127adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )
129 negcl 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
130 releabs 11821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( Re `  -u A
)  <_  ( abs `  -u A ) )
131129, 130syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A
) )
132 abscl 11779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  e.  RR )
133129, 132syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  RR )
134129recld 11695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  RR )
135133, 134subge0d 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( ( abs `  -u A )  -  ( Re `  -u A
) )  <->  ( Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A ) ) )
136131, 135mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
137 readd 11627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
1389, 137mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re
`  A ) ) )
1393rered 11725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
140 absneg 11778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
141139, 140eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  -u A
) )
142 negneg 9113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
143142fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  ( Re
`  A ) )
144129renegd 11710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  -u (
Re `  -u A ) )
145143, 144eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  -u ( Re `  -u A ) )
146141, 145oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) ) )
147133recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  CC )
148134recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  CC )
149147, 148negsubd 9179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
150138, 146, 1493eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
151136, 150breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
152 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
153 2pos 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
154152, 117, 153ltleii 8957 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
155 mulge0 9307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
156117, 154, 155mpanl12 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
157118, 151, 156syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
158157, 116breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
159158adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
160 absge0 11788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
16112, 160syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
162123, 161, 20ne0gt0d 8972 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
163 divge0 9641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
164122, 159, 123, 162, 163syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
165115, 124, 128, 164mulge0d 9365 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
166 divge0 9641 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
167117, 153, 166mpanr12 666 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
168125, 165, 167syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
1698, 21mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  CC )
1701, 169syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
171 reval 11607 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  =  ( ( B  +  ( * `  B ) )  / 
2 ) )
172170, 171syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( B  +  ( * `
 B ) )  /  2 ) )
1731oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
1741fveq2i 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( * `
 B )  =  ( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
1758, 21cjmuld 11722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `
 ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
176174, 175syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  x.  ( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
1776cjred 11727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
178177adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
17912, 16, 20cjdivd 11724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
180123cjred 11727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
181180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
182179, 181eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
183178, 182oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
184176, 183eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
185184oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
18612cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
187186, 16, 20divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
1888, 21, 187adddid 8875 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) ) )
189173, 185, 1883eqtr4a 2354 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
19012, 186, 16, 20divdird 9590 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
191190oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
192189, 191eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
193192oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B  +  ( * `  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
194172, 193eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
195168, 194breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  B ) )
196 subneg 9112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
1979, 196mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
198197eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
199 subeq0 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  -  -u A )  =  0  <->  ( abs `  A
)  =  -u A
) )
2009, 129, 199syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  ( abs `  A )  = 
-u A ) )
201198, 200bitr3d 246 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  -u A ) )
202201necon3bid 2494 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  -u A
) )
203202biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  -u A
)
204 resqcl 11187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  e.  RR )
205 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
206 sqmul 11183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
207205, 170, 206sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
208 i2 11219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
209208a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i ^ 2 )  =  -u 1
)
210209, 114oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  A ) )
211 mulm1 9237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
212211adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  A
)  =  -u A
)
213207, 210, 2123eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  -u A
)
214213eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( _i  x.  B ) ^
2 )  e.  RR  <->  -u A  e.  RR ) )
215204, 214syl5ib 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  -> 
-u A  e.  RR ) )
216 renegcl 9126 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u -u A  e.  RR )
217142eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
218216, 217syl5ib 210 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
219111, 215, 218sylsyld 52 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
220 sqge0 11196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 ) )
221213breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( 0  <_  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  <->  0  <_  -u A ) )
222220, 221syl5ib 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  -u A ) )
223 le0neg1 9298 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
224223biimprcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  -u A  ->  ( A  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
225222, 219, 224syl6c 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
226219, 225jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 ) ) )
227 absnid 11799 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
228226, 227syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
) )
229228necon3ad 2495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  =/=  -u A  ->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR ) )
230203, 229mpd 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR )
231 rpre 10376 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR+  ->  ( _i  x.  B )  e.  RR )
232230, 231nsyl 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR+ )
233 df-nel 2462 . . 3  |-  ( ( _i  x.  B )  e/  RR+  <->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR+ )
234232, 233sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  B
)  e/  RR+ )
235114, 195, 2343jca 1132 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   ^cexp 11120   *ccj 11597   Recre 11598   sqrcsqr 11734   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  sqreu  11860  cphsqrcl2  18638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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