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Theorem sqreulem 12165
Description: Lemma for sqreu 12166: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
sqreulem.1  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqreulem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem
StepHypRef Expression
1 sqreulem.1 . . . . 5  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
21oveq1i 6093 . . . 4  |-  ( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )
3 abscl 12085 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
4 absge0 12094 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
5 resqrcl 12061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
63, 4, 5syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
76recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  CC )
87adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  CC )
93recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10 addcl 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
119, 10mpancom 652 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
1211adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
13 abscl 12085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1411, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1514recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  CC )
1615adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
1711abs00ad 12097 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1817necon3bid 2638 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 ) )
1918biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0 )
2012, 16, 19divcld 9792 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
218, 20sqmuld 11537 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
222, 21syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
233adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
244adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
25 resqrth 12063 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2623, 24, 25syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2712, 16, 19sqdivd 11538 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  / 
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) ) )
28 absvalsq 12087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
29 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
30 mulass 9080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
3129, 30mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( abs `  A
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
329, 31mpancom 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
33 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
3429, 9, 33sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
35 mulcom 9078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3634, 35mpancom 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3732, 36eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A ) )  =  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3828, 37oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
39 cjcl 11912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
40 adddi 9081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4139, 34, 40mpd3an23 1282 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
* `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4238, 41eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
43 sqval 11443 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
4442, 43oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
45 binom2 11498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
469, 45mpancom 652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
47 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
4839, 34addcld 9109 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
4947, 48, 47adddid 9114 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
5044, 46, 493eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
519, 34mulcld 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
529, 39mulcld 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  e.  CC )
5351, 52addcomd 9270 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
549, 9mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
55542timesd 10212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) ) )
56 mul12 9234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
5729, 56mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
589, 9, 57syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
599sqvald 11522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) )
60 mulcom 9078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  A ) )
6139, 60mpdan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6228, 59, 613eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6362oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) ) )
6455, 58, 633eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
6564oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) ) )
669, 39, 34adddid 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
6753, 65, 663eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
6867oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
69 cjadd 11948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A
) ) )
709, 69mpancom 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `
 A ) ) )
713cjred 12033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
7271oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7370, 72eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7473oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) ) )
759, 47, 9, 39muladdd 9493 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
7674, 75eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
77 absvalsq 12087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
7811, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
79 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  A
)  e.  CC )
8039, 79mpancom 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8154, 80addcld 9109 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  e.  CC )
82 mulcl 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
839, 82mpancom 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8481, 52, 83addassd 9112 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
8576, 78, 843eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) )
869, 48, 47adddid 9114 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
8768, 85, 863eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
8850, 87oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
8988adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A ) ^
2 )  /  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9027, 89eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9126, 90oveq12d 6101 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
92 addcl 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
9348, 92mpancom 652 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
949, 47, 93mul12d 9277 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9594oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
9695adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
979adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
98 mulcl 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
9993, 98mpdan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
10099adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
1019, 93mulcld 9110 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
102101adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
103 sqeq0 11448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10415, 103syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10587eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
106104, 105, 173bitr3rd 277 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
107106necon3bid 2638 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =/=  0 ) )
108107biimpa 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =/=  0 )
10997, 100, 102, 108divassd 9827 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
110 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
111110, 102, 108divcan4d 9798 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  A )
11296, 109, 1113eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )  =  A )
11322, 91, 1123eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  A )
1146adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  RR )
11511addcjd 12019 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
116 2re 10071 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
11711recld 12001 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )
118 remulcl 9077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) )  e.  RR )
119116, 117, 118sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
120115, 119eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR )
121120adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
12214adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR )
123121, 122, 19redivcld 9844 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
124114, 123remulcld 9118 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR )
125 sqrge0 12065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
1263, 4, 125syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
127126adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )
128 negcl 9308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
129 releabs 12127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( Re `  -u A
)  <_  ( abs `  -u A ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A
) )
131 abscl 12085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  e.  RR )
132128, 131syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  RR )
133128recld 12001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  RR )
134132, 133subge0d 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( ( abs `  -u A )  -  ( Re `  -u A
) )  <->  ( Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A ) ) )
135130, 134mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
136 readd 11933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
1379, 136mpancom 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re
`  A ) ) )
1383rered 12031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
139 absneg 12084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
140138, 139eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  -u A
) )
141 negneg 9353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
142141fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  ( Re
`  A ) )
143128renegd 12016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  -u (
Re `  -u A ) )
144142, 143eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  -u ( Re `  -u A ) )
145140, 144oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) ) )
146132recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  CC )
147133recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  CC )
148146, 147negsubd 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
149137, 145, 1483eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
150135, 149breqtrrd 4240 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
151 0re 9093 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
152 2pos 10084 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
153151, 116, 152ltleii 9198 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
154 mulge0 9547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
155116, 153, 154mpanl12 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
156117, 150, 155syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
157156, 115breqtrrd 4240 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
158157adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
159 absge0 12094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
16012, 159syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
161122, 160, 19ne0gt0d 9212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
162 divge0 9881 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
163121, 158, 122, 161, 162syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
164114, 123, 127, 163mulge0d 9605 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
165 divge0 9881 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
166116, 152, 165mpanr12 668 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
167124, 164, 166syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
1688, 20mulcld 9110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  CC )
1691, 168syl5eqel 2522 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
170 reval 11913 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  =  ( ( B  +  ( * `  B ) )  / 
2 ) )
171169, 170syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( B  +  ( * `
 B ) )  /  2 ) )
1721oveq1i 6093 . . . . . . 7  |-  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
1731fveq2i 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( * `
 B )  =  ( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
1748, 20cjmuld 12028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `
 ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
175173, 174syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  x.  ( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
1766cjred 12033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
177176adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
17812, 16, 19cjdivd 12030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
179122cjred 12033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
180179oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
181178, 180eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
182177, 181oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
183175, 182eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
184183oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
18512cjcld 12003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
186185, 16, 19divcld 9792 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
1878, 20, 186adddid 9114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) ) )
188172, 184, 1873eqtr4a 2496 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
18912, 185, 16, 19divdird 9830 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
190189oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
191188, 190eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
192191oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B  +  ( * `  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
193171, 192eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
194167, 193breqtrrd 4240 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  B ) )
195 subneg 9352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
1969, 195mpancom 652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
197196eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1989, 128subeq0ad 9423 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  ( abs `  A )  = 
-u A ) )
199197, 198bitr3d 248 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  -u A ) )
200199necon3bid 2638 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  -u A
) )
201200biimpa 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  -u A
)
202 resqcl 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  e.  RR )
203 ax-icn 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
204 sqmul 11447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
205203, 169, 204sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
206 i2 11483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i ^ 2 )  =  -u 1
)
208207, 113oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  A ) )
209 mulm1 9477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
210209adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  A
)  =  -u A
)
211205, 208, 2103eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  -u A
)
212211eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( _i  x.  B ) ^
2 )  e.  RR  <->  -u A  e.  RR ) )
213202, 212syl5ib 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  -> 
-u A  e.  RR ) )
214 renegcl 9366 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u -u A  e.  RR )
215141eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
216214, 215syl5ib 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
217110, 213, 216sylsyld 55 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
218 sqge0 11460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 ) )
219211breq2d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( 0  <_  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  <->  0  <_  -u A ) )
220218, 219syl5ib 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  -u A ) )
221 le0neg1 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
222221biimprcd 218 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  -u A  ->  ( A  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
223220, 217, 222syl6c 63 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
224217, 223jcad 521 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 ) ) )
225 absnid 12105 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
226224, 225syl6 32 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
) )
227226necon3ad 2639 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  =/=  -u A  ->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR ) )
228201, 227mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR )
229 rpre 10620 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR+  ->  ( _i  x.  B )  e.  RR )
230228, 229nsyl 116 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR+ )
231 df-nel 2604 . . 3  |-  ( ( _i  x.  B )  e/  RR+  <->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR+ )
232230, 231sylibr 205 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  B
)  e/  RR+ )
233113, 194, 2323jca 1135 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    e/ wnel 2602   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   2c2 10051   RR+crp 10614   ^cexp 11384   *ccj 11903   Recre 11904   sqrcsqr 12040   abscabs 12041
This theorem is referenced by:  sqreu  12166  cphsqrcl2  19151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043
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