Theorem sqrlem13 6685

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem9.3	|- B e. RR
sqrlem9.4	|- C e. RR
sqrlem9.5	|- 0 < B
sqrlem9.6	|- A < (B x. B)
sqrlem9.7	|- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
sqrlem12.8	|- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem13	|- (B = sup(S, RR, < ) -> -. C < B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,S   x,C

Proof of Theorem sqrlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem9.4	. . 3 |- C e. RR
2		sqrlem1.1	. . . . . . . 8 |- A e. RR
3		sqrlem1.2	. . . . . . . 8 |- 0 < A
4		sqrlem9.3	. . . . . . . 8 |- B e. RR
5		sqrlem9.5	. . . . . . . 8 |- 0 < B
6		sqrlem9.6	. . . . . . . 8 |- A < (B x. B)
7		sqrlem9.7	. . . . . . . 8 |- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
8		sqrlem12.8	. . . . . . . 8 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
9	2, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8	sqrlem12 6684	. . . . . . 7 |- (z e. S -> z < C)
10	2, 3, 8	sqrlem4 6676	. . . . . . . . 9 |- (z e. S <-> (z e. RR /\ (0 <_ z /\ (z x. z) <_ A)))
11	10	pm3.26bi 322	. . . . . . . 8 |- (z e. S -> z e. RR)
12		axlttri 5503	. . . . . . . . 9 |- ((z e. RR /\ C e. RR) -> (z < C <-> -. (z = C \/ C < z)))
13	1, 12	mpan2 696	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (z < C <-> -. (z = C \/ C < z)))
14	11, 13	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. S -> (z < C <-> -. (z = C \/ C < z)))
15	9, 14	mpbid 195	. . . . . 6 |- (z e. S -> -. (z = C \/ C < z))
16		ioran 306	. . . . . 6 |- (-. (z = C \/ C < z) <-> (-. z = C /\ -. C < z))
17	15, 16	sylib 198	. . . . 5 |- (z e. S -> (-. z = C /\ -. C < z))
18	17	pm3.27d 325	. . . 4 |- (z e. S -> -. C < z)
19	18	rgen 1698	. . 3 |- A.z e. S -. C < z
20		ltso 5512	. . . 4 |- < Or RR
21	2, 3, 8	sqrlem6 6678	. . . . 5 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x)
22		axsup 5507	. . . . 5 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x) -> E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z)))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . 4 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z))
24	20, 23	supnubi 4587	. . 3 |- ((C e. RR /\ A.z e. S -. C < z) -> -. C < sup(S, RR, < ))
25	1, 19, 24	mp2an 697	. 2 |- -. C < sup(S, RR, < )
26		breq2 2623	. 2 |- (B = sup(S, RR, < ) -> (C < B <-> C < sup(S, RR, < )))
27	25, 26	mtbiri 717	1 |- (B = sup(S, RR, < ) -> -. C < B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  sqrlem14 6686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703

Copyright terms: Public domain