Theorem sqrlem22 6694

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem21.3	|- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
sqrlem21.4	|- B = sup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
sqrlem22	|- -. (B x. B) < A

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,S

Proof of Theorem sqrlem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem21.4	. 2 |- B = sup(S, RR, < )
2		eqeq1 1481	. . . 4 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (B = sup(S, RR, < ) <-> if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, RR, < )))
3	2	negbid 611	. . 3 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (-. B = sup(S, RR, < ) <-> -. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, RR, < )))
4		sqrlem1.1	. . . 4 |- A e. RR
5		sqrlem1.2	. . . 4 |- 0 < A
6		sqrlem21.3	. . . . . 6 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
7	4, 5, 6, 1	sqrlem7 6679	. . . . 5 |- B e. RR
8		1re 5435	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
9	8, 4	readdcl 5334	. . . . . 6 |- (1 + A) e. RR
10		lt01 5680	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11	8, 4, 10, 5	addgt0i 5601	. . . . . . 7 |- 0 < (1 + A)
12	9, 11	gt0ne0i 5617	. . . . . 6 |- (1 + A) =/= 0
13	4, 9, 12	redivcl 5798	. . . . 5 |- (A / (1 + A)) e. RR
14	7, 13	keepel 2399	. . . 4 |- if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) e. RR
15		breq2 2623	. . . . 5 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (0 < B <-> 0 < if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
16		breq2 2623	. . . . 5 |- ((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (0 < (A / (1 + A)) <-> 0 < if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
17	4, 5, 6, 1	sqrlem8 6680	. . . . 5 |- 0 < B
18	4, 5	sqrlem3 6675	. . . . 5 |- 0 < (A / (1 + A))
19	15, 16, 17, 18	keephyp 2396	. . . 4 |- 0 < if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))
20		opreq12 3970	. . . . . . 7 |- ((B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) /\ B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) -> (B x. B) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
21	20	anidms 434	. . . . . 6 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (B x. B) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
22	21	breq1d 2629	. . . . 5 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> ((B x. B) < A <-> (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A))
23		opreq12 3970	. . . . . . 7 |- (((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) /\ (A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) -> ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
24	23	anidms 434	. . . . . 6 |- ((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
25	24	breq1d 2629	. . . . 5 |- ((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A <-> (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A))
26	4, 5	sqrlem2 6674	. . . . 5 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A
27	22, 25, 26	elimhyp 2390	. . . 4 |- (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A
28	4, 5, 14, 19, 27, 6	sqrlem20 6692	. . 3 |- -. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, RR, < )
29	3, 28	dedth 2383	. 2 |- ((B x. B) < A -> -. B = sup(S, RR, < ))
30	1, 29	mt2 109	1 |- -. (B x. B) < A

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648  ifcif 2361   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  sqrlem23 6695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703

Copyright terms: Public domain