MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem4 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem4 12051
Description: Lemma for 01sqrex 12055. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 sqrlem1.1 . . . . . 6  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
32, 1sqrlem3 12050 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
4 suprcl 9968 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
61, 5syl5eqel 2520 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
7 rpgt0 10623 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  A )
92, 1sqrlem2 12049 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  S )
10 suprub 9969 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
113, 9, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
1211, 1syl6breqr 4252 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  B )
13 rpre 10618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
15 0re 9091 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
16 ltletr 9166 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
1715, 16mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
1814, 6, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
198, 12, 18mp2and 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  B )
206, 19elrpd 10646 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR+ )
212, 1sqrlem1 12048 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. z  e.  S  z  <_  1 )
22 1re 9090 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 suprleub 9972 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  1  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
243, 22, 23sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
2521, 24mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1 )
261, 25syl5eqbr 4245 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  <_  1 )
2720, 26jca 519 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    < clt 9120    <_ cle 9121   2c2 10049   RR+crp 10612   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  sqrlem5  12052  sqrlem7  12054  01sqrex  12055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383
  Copyright terms: Public domain W3C validator