MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem5 Unicode version

Theorem sqrlem5 11732
Description: Lemma for 01sqrex 11735. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    a, b, u, v, y, S    x, a, A, b, v, y   
v, B, y    u, T, v
Allowed substitution hints:    A( u)    B( x, u, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  C_  RR+
31, 2eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  S  C_  RR+
43sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR+ )
54rpge0d 10394 . . . . 5  |-  ( v  e.  S  ->  0  <_  v )
65rgen 2608 . . . 4  |-  A. v  e.  S  0  <_  v
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  S  0  <_  v )
8 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
91, 8sqrlem3 11730 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )
10 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
11 pm4.24 624 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  S  0  <_  v  <->  ( A. v  e.  S  0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v
) )
12113anbi1i 1142 . . . 4  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  <->  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v )  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) ) )
1310, 12supmullem2 9721 . . 3  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
147, 9, 9, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
151, 8sqrlem4 11731 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
16 rpre 10360 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1918recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  CC )
2019sqvald 11242 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
218, 8oveq12i 5870 . . . 4  |-  ( B  x.  B )  =  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
2210, 12supmul 9722 . . . . 5  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
237, 9, 9, 22syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2421, 23syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  x.  B )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2520, 24eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2614, 25jca 518 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   RR+crp 10354   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  sqrlem6  11733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator