MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem5 Unicode version

Theorem sqrlem5 11748
Description: Lemma for 01sqrex 11751. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    a, b, u, v, y, S    x, a, A, b, v, y   
v, B, y    u, T, v
Allowed substitution hints:    A( u)    B( x, u, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  C_  RR+
31, 2eqsstri 3221 . . . . . . 7  |-  S  C_  RR+
43sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR+ )
54rpge0d 10410 . . . . 5  |-  ( v  e.  S  ->  0  <_  v )
65rgen 2621 . . . 4  |-  A. v  e.  S  0  <_  v
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  S  0  <_  v )
8 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
91, 8sqrlem3 11746 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )
10 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
11 pm4.24 624 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  S  0  <_  v  <->  ( A. v  e.  S  0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v
) )
12113anbi1i 1142 . . . 4  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  <->  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v )  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) ) )
1310, 12supmullem2 9737 . . 3  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
147, 9, 9, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
151, 8sqrlem4 11747 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
16 rpre 10376 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1918recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  CC )
2019sqvald 11258 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
218, 8oveq12i 5886 . . . 4  |-  ( B  x.  B )  =  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
2210, 12supmul 9738 . . . . 5  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
237, 9, 9, 22syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2421, 23syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  x.  B )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2520, 24eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2614, 25jca 518 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   2c2 9811   RR+crp 10370   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  sqrlem6  11749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator