MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem5 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem5 12044
Description: Lemma for 01sqrex 12047. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    a, b, u, v, y, S    x, a, A, b, v, y   
v, B, y    u, T, v
Allowed substitution hints:    A( u)    B( x, u, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 ssrab2 3420 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  C_  RR+
31, 2eqsstri 3370 . . . . . . 7  |-  S  C_  RR+
43sseli 3336 . . . . . 6  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR+ )
54rpge0d 10644 . . . . 5  |-  ( v  e.  S  ->  0  <_  v )
65rgen 2763 . . . 4  |-  A. v  e.  S  0  <_  v
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  S  0  <_  v )
8 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
91, 8sqrlem3 12042 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )
10 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
11 pm4.24 625 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  S  0  <_  v  <->  ( A. v  e.  S  0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v
) )
12113anbi1i 1144 . . . 4  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  <->  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v )  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) ) )
1310, 12supmullem2 9967 . . 3  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
147, 9, 9, 13syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
151, 8sqrlem4 12043 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
16 rpre 10610 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1716adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1918recnd 9106 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  CC )
2019sqvald 11512 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
218, 8oveq12i 6085 . . . 4  |-  ( B  x.  B )  =  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
2210, 12supmul 9968 . . . . 5  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
237, 9, 9, 22syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2421, 23syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  x.  B )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2520, 24eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2614, 25jca 519 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113   2c2 10041   RR+crp 10604   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  sqrlem6  12045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator