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Theorem sqrlem6 11733
Description: Lemma for 01sqrex 11735. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Distinct variable groups:    a, b,
y, S    x, a, A, b, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem6
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
3 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
41, 2, 3sqrlem5 11732 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
54simprd 449 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
6 vex 2791 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
7 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( a  x.  b )  <->  v  =  ( a  x.  b
) ) )
872rexbidv 2586 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) ) )
96, 8, 3elab2 2917 . . . . 5  |-  ( v  e.  T  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) )
10 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
1110breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1211, 1elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  RR+  /\  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1312simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR+ )
14 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1615, 1elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  <->  ( b  e.  RR+  /\  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1716simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR+ )
18 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
20 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  b  e.  RR )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
22 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  0  < 
b )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  b )
24 lemul1 9608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  (
b  e.  RR  /\  0  <  b ) )  ->  ( a  <_ 
b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2613, 17, 25syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b  x.  b ) ) )
2717rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  CC )
2827sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  =  ( b  x.  b ) )
2928breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( b ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( b  x.  b ) ) )
3126, 30bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3231adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3316simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  <_  A )
3433ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  <_  A )
3513rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR )
3617rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR )
37 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3835, 36, 37syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3938adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  e.  RR )
4036resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  e.  RR )
4140ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  e.  RR )
42 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  ->  A  e.  RR )
44 letr 8914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( b ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4634, 45mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
4732, 46sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
48 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  0  < 
a )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  a )
50 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( b  <_ 
a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5213, 17, 51syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a  x.  a ) ) )
5313rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  CC )
5453sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  =  ( a  x.  a ) )
5554breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( a ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( a  x.  a ) ) )
5752, 56bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5857adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5912simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  <_  A )
6059ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  <_  A )
6135resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  e.  RR )
6261ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  e.  RR )
63 letr 8914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( a ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6439, 62, 43, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6560, 64mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
6658, 65sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
671, 2sqrlem3 11730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. v  e.  S  v  <_  y
) )
6867simp1d 967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  S  C_  RR )
6968sseld 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
a  e.  S  -> 
a  e.  RR ) )
7068sseld 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
b  e.  S  -> 
b  e.  RR ) )
7169, 70anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) ) )
7271imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
73 letric 8921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7547, 66, 74mpjaod 370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  A )
7675ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
77 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  (
v  <_  A  <->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
7877biimprcd 216 . . . . . . 7  |-  ( ( a  x.  b )  <_  A  ->  (
v  =  ( a  x.  b )  -> 
v  <_  A )
)
7976, 78syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) ) )
8079rexlimdvv 2673 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) )
819, 80syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
v  e.  T  -> 
v  <_  A )
)
8281ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  T  v  <_  A )
834simpld 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
8442adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
85 suprleub 9718 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  A  e.  RR )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8683, 84, 85syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8782, 86mpbird 223 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A )
885, 87eqbrtrd 4043 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   RR+crp 10354   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  sqrlem7  11734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105
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