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Theorem sqrlem7 11830
Description: Lemma for 01sqrex 11831. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  A )
Distinct variable groups:    a, b,
y, S    x, a, A, b, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem7
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . 3  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 sqrlem1.2 . . 3  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
3 sqrlem5.3 . . 3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
41, 2, 3sqrlem6 11829 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
51, 2sqrlem3 11826 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
71, 2sqrlem4 11827 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_ 
1 ) )
98simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  RR+ )
10 rpre 10452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
12 rpre 10452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
147, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1514resqcld 11364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
1611, 15resubcld 9301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
1716adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  RR )
1815, 11posdifd 9449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( B ^ 2 )  <  A  <->  0  <  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
1918biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
2017, 19elrpd 10480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  RR+ )
21 3re 9907 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
22 3pos 9920 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
2321, 22elrpii 10449 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR+
24 rpdivcl 10468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR+ )
2520, 23, 24sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR+ )
269, 25rpaddcld 10497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  RR+ )
2714adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  RR )
2827recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  CC )
29 3nn 9970 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
30 nndivre 9871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3116, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3231adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3332recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )
34 binom2 11311 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  -> 
( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
3528, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
3615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
3736recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
38 2re 9905 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3927, 32remulcld 8953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )
40 remulcl 8912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  RR )
4138, 39, 40sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  RR )
4241recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  CC )
4332resqcld 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  e.  RR )
4443recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  e.  CC )
4537, 42, 44addassd 8947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )
4635, 45eqtrd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )
47 2cn 9906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
48 mulass 8915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  B
)  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
4947, 48mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x.  B )  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5028, 33, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5150eqcomd 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  =  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
5233sqvald 11335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  =  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )
5351, 52oveq12d 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
54 remulcl 8912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR )
5538, 27, 54sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  e.  RR )
5655recnd 8951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  e.  CC )
5756, 33, 33adddird 8950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5853, 57eqtr4d 2393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
597simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  <_  1 )
60 2pos 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
61 1re 8927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
62 lemul2 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( B  <_ 
1  <->  ( 2  x.  B )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
6361, 62mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
6438, 60, 63mpanr12 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
6514, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
6659, 65mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
2  x.  B )  <_  ( 2  x.  1 ) )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
68 ax-1rid 8897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
6938, 68ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7067, 69syl6breq 4143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  <_ 
2 )
7111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  e.  RR )
7261a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  1  e.  RR )
7327sqge0d 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
7471, 36addge01d 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 0  <_  ( B ^
2 )  <->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
7573, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) )
7671, 36, 71lesubaddd 9459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  A  <->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
7775, 76mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_  A )
78 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  <_  1 )
7917, 71, 72, 77, 78letrd 9063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
1 )
80 nnge1 9862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  e.  NN  ->  1  <_  3 )
8129, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  3
82 letr 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  -> 
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8361, 21, 82mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  -> 
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8417, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8581, 84mpan2i 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8679, 85mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
3 )
87 ax-1rid 8897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR  ->  (
3  x.  1 )  =  3 )
8821, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8986, 88syl6breqr 4144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 3  x.  1 ) )
90 ledivmul 9719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  -> 
( ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 )  <_  1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
9161, 90mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
9221, 22, 91mpanr12 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1  <->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 3  x.  1 ) ) )
9317, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
9489, 93mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1 )
95 le2add 9346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  B )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )  /\  ( 2  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  <_  2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9638, 61, 95mpanr12 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2  x.  B )  <_ 
2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1 )  ->  (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9755, 32, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  <_  2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9870, 94, 97mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 2  +  1 ) )
99 df-3 9895 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
10098, 99syl6breqr 4144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
3 )
10155, 32readdcld 8952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  RR )
10221a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  3  e.  RR )
103101, 102, 25lemul1d 10521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  3  <->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
104100, 103mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
10517recnd 8951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  CC )
106 3cn 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
107 3ne0 9921 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
108 divcan2 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
109106, 107, 108mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
110105, 109syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 3  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
111104, 110breqtrd 4128 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
11258, 111eqbrtrd 4124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
11341, 43readdcld 8952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  e.  RR )
11436, 113, 71leaddsub2d 9464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) )  <_  A  <->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
115112, 114mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) )  <_  A )
11646, 115eqbrtrd 4124 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A )
117 oveq1 5952 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 ) )
118117breq1d 4114 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  <_  A  <->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A ) )
119 oveq1 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
120119breq1d 4114 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( y ^ 2 )  <_  A ) )
121120cbvrabv 2863 . . . . . . 7  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  =  {
y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
1221, 121eqtri 2378 . . . . . 6  |-  S  =  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
123118, 122elrab2 3001 . . . . 5  |-  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  S  <->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR+  /\  (
( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A ) )
12426, 116, 123sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )
125 suprub 9805 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
126125, 2syl6breqr 4144 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B )
1276, 124, 126syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B )
12825rpgt0d 10485 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )
12931, 14ltaddposd 9446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <->  B  <  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
13014, 31readdcld 8952 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )
13114, 130ltnled 9056 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  <  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B ) )
132129, 131bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B ) )
133132biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  0  <  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B )
134128, 133syldan 456 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B )
135127, 134pm2.65da 559 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  -.  ( B ^ 2 )  <  A )
13615, 11eqleltd 9053 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( B ^ 2 )  =  A  <->  ( ( B ^ 2 )  <_  A  /\  -.  ( B ^ 2 )  < 
A ) ) )
1374, 135, 136mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623    C_ wss 3228   (/)c0 3531   class class class wbr 4104  (class class class)co 5945   supcsup 7283   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   2c2 9885   3c3 9886   RR+crp 10446   ^cexp 11197
This theorem is referenced by:  01sqrex  11831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198
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