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Theorem sqrmo 12062
Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqrmo  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem sqrmo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  A )
2 simprr1 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
y ^ 2 )  =  A )
31, 2eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
4 sqeqor 11500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( y ^ 2 )  <-> 
( x  =  y  \/  x  =  -u y ) ) )
54ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( y ^ 2 )  <->  ( x  =  y  \/  x  =  -u y ) ) )
63, 5mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x  =  y  \/  x  =  -u y
) )
76ord 368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  x  =  -u y
) )
8 3simpc 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
9 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  -u y ) )
109breq2d 4227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  -u y
) ) )
11 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  -u y ) )
12 neleq1 2701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  -u y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) )
1410, 13anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( 0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( 0  <_  ( Re `  -u y )  /\  (
_i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
158, 14syl5ibcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  ->  (
x  =  -u y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
1615ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x  =  -u y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
177, 16syld 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
18 negeq 9303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0  ->  -u y  =  -u 0 )
19 neg0 9352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 0  =  0
2018, 19syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  0  ->  -u y  =  0 )
2120eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  -u y  <->  x  =  0 ) )
22 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  y  <->  x  = 
0 ) )
2321, 22bitr4d 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  -u y  <->  x  =  y ) )
2423biimpcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u y  ->  (
y  =  0  ->  x  =  y )
)
2524necon3bd 2640 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  ( -.  x  =  y  ->  y  =/=  0 ) )
267, 25syli 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  y  =/=  0 ) )
27 3simpc 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )  ->  (
0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )
28 cnpart 12050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 0  <_ 
( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  -.  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
2927, 28syl5ib 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_ 
( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  ->  -.  ( 0  <_ 
( Re `  -u y
)  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3029impancom 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) )  ->  ( y  =/=  0  ->  -.  (
0  <_  ( Re `  -u y )  /\  (
_i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3130adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
y  =/=  0  ->  -.  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
3226, 31syld 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  -.  ( 0  <_ 
( Re `  -u y
)  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3317, 32pm2.65d 169 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  -.  -.  x  =  y
)
3433notnotrd 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  x  =  y )
3534an4s 801 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) ) )  ->  x  =  y )
3635ex 425 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y ) )
3736a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
) )
3837ralrimivv 2799 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
)
39 oveq1 6091 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
4039eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( y ^ 2 )  =  A ) )
41 fveq2 5731 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  y ) )
4241breq2d 4227 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
43 oveq2 6092 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
44 neleq1 2701 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
4543, 44syl 16 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
4640, 42, 453anbi123d 1255 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )
4746rmo4 3129 . 2  |-  ( E* x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
)
4838, 47sylibr 205 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    e/ wnel 2602   A.wral 2707   E*wrmo 2710   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   _ici 8997    x. cmul 9000    <_ cle 9126   -ucneg 9297   2c2 10054   RR+crp 10617   ^cexp 11387   Recre 11907
This theorem is referenced by:  resqreu  12063  sqrneg  12078  sqreu  12169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911
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