MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrmo Structured version   Unicode version

Theorem sqrmo 12049
Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqrmo  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem sqrmo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  A )
2 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
y ^ 2 )  =  A )
31, 2eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
4 sqeqor 11487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( y ^ 2 )  <-> 
( x  =  y  \/  x  =  -u y ) ) )
54ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( y ^ 2 )  <->  ( x  =  y  \/  x  =  -u y ) ) )
63, 5mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x  =  y  \/  x  =  -u y
) )
76ord 367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  x  =  -u y
) )
8 3simpc 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
9 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  -u y ) )
109breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  -u y
) ) )
11 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  -u y ) )
12 neleq1 2691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  -u y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) )
1410, 13anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( 0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( 0  <_  ( Re `  -u y )  /\  (
_i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
158, 14syl5ibcom 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  ->  (
x  =  -u y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
1615ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x  =  -u y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
177, 16syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
18 negeq 9290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0  ->  -u y  =  -u 0 )
19 neg0 9339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 0  =  0
2018, 19syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  0  ->  -u y  =  0 )
2120eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  -u y  <->  x  =  0 ) )
22 eqeq2 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  y  <->  x  = 
0 ) )
2321, 22bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  -u y  <->  x  =  y ) )
2423biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u y  ->  (
y  =  0  ->  x  =  y )
)
2524necon3bd 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  ( -.  x  =  y  ->  y  =/=  0 ) )
267, 25syli 35 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  y  =/=  0 ) )
27 3simpc 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )  ->  (
0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )
28 cnpart 12037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 0  <_ 
( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  -.  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
2927, 28syl5ib 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_ 
( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  ->  -.  ( 0  <_ 
( Re `  -u y
)  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3029impancom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) )  ->  ( y  =/=  0  ->  -.  (
0  <_  ( Re `  -u y )  /\  (
_i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
y  =/=  0  ->  -.  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
3226, 31syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  -.  ( 0  <_ 
( Re `  -u y
)  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3317, 32pm2.65d 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  -.  -.  x  =  y
)
3433notnotrd 107 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  x  =  y )
3534an4s 800 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) ) )  ->  x  =  y )
3635ex 424 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y ) )
3736a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
) )
3837ralrimivv 2789 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
)
39 oveq1 6080 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
4039eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( y ^ 2 )  =  A ) )
41 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  y ) )
4241breq2d 4216 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
43 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
44 neleq1 2691 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
4543, 44syl 16 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
4640, 42, 453anbi123d 1254 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )
4746rmo4 3119 . 2  |-  ( E* x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
)
4838, 47sylibr 204 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    e/ wnel 2599   A.wral 2697   E*wrmo 2700   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   _ici 8984    x. cmul 8987    <_ cle 9113   -ucneg 9284   2c2 10041   RR+crp 10604   ^cexp 11374   Recre 11894
This theorem is referenced by:  resqreu  12050  sqrneg  12065  sqreu  12156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898
  Copyright terms: Public domain W3C validator