MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrmo Unicode version

Theorem sqrmo 11985
Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqrmo  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem sqrmo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  A )
2 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
y ^ 2 )  =  A )
31, 2eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
4 sqeqor 11423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( y ^ 2 )  <-> 
( x  =  y  \/  x  =  -u y ) ) )
54ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( y ^ 2 )  <->  ( x  =  y  \/  x  =  -u y ) ) )
63, 5mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x  =  y  \/  x  =  -u y
) )
76ord 367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  x  =  -u y
) )
8 3simpc 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
9 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  -u y ) )
109breq2d 4166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  -u y
) ) )
11 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  -u y ) )
12 neleq1 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  -u y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) )
1410, 13anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( 0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( 0  <_  ( Re `  -u y )  /\  (
_i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
158, 14syl5ibcom 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  ->  (
x  =  -u y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
1615ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
x  =  -u y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
177, 16syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
18 negeq 9231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0  ->  -u y  =  -u 0 )
19 neg0 9280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 0  =  0
2018, 19syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  0  ->  -u y  =  0 )
2120eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  -u y  <->  x  =  0 ) )
22 eqeq2 2397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  y  <->  x  = 
0 ) )
2321, 22bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  0  ->  (
x  =  -u y  <->  x  =  y ) )
2423biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u y  ->  (
y  =  0  ->  x  =  y )
)
2524necon3bd 2588 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  ( -.  x  =  y  ->  y  =/=  0 ) )
267, 25syli 35 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  y  =/=  0 ) )
27 3simpc 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )  ->  (
0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )
28 cnpart 11973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( 0  <_ 
( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  -.  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
2927, 28syl5ib 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_ 
( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  ->  -.  ( 0  <_ 
( Re `  -u y
)  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3029impancom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) )  ->  ( y  =/=  0  ->  -.  (
0  <_  ( Re `  -u y )  /\  (
_i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  (
y  =/=  0  ->  -.  ( 0  <_  (
Re `  -u y )  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ )
) )
3226, 31syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  -.  ( 0  <_ 
( Re `  -u y
)  /\  ( _i  x.  -u y )  e/  RR+ ) ) )
3317, 32pm2.65d 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  -.  -.  x  =  y
)
3433notnotrd 107 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )  ->  x  =  y )
3534an4s 800 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) ) )  ->  x  =  y )
3635ex 424 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  ( ( y ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  y )  /\  ( _i  x.  y
)  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y ) )
3736a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
) )
3837ralrimivv 2741 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
)
39 oveq1 6028 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
4039eqeq1d 2396 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( y ^ 2 )  =  A ) )
41 fveq2 5669 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  y ) )
4241breq2d 4166 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
43 oveq2 6029 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
44 neleq1 2644 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
4543, 44syl 16 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
4640, 42, 453anbi123d 1254 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )
4746rmo4 3071 . 2  |-  ( E* x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ ) )  ->  x  =  y )
)
4838, 47sylibr 204 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551    e/ wnel 2552   A.wral 2650   E*wrmo 2653   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924   _ici 8926    x. cmul 8929    <_ cle 9055   -ucneg 9225   2c2 9982   RR+crp 10545   ^cexp 11310   Recre 11830
This theorem is referenced by:  resqreu  11986  sqrneg  12001  sqreu  12092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834
  Copyright terms: Public domain W3C validator