Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sraassa Structured version   Unicode version

Theorem sraassa 16376
 Description: The subring algebra over a commutative ring is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sraassa.a subringAlg
Assertion
Ref Expression
sraassa SubRing AssAlg

Proof of Theorem sraassa
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sraassa.a . . . 4 subringAlg
21a1i 11 . . 3 SubRing subringAlg
3 eqid 2435 . . . . 5
43subrgss 15861 . . . 4 SubRing
54adantl 453 . . 3 SubRing
62, 5srabase 16242 . 2 SubRing
72, 5srasca 16245 . 2 SubRing s Scalar
8 eqid 2435 . . . 4 s s
98subrgbas 15869 . . 3 SubRing s
109adantl 453 . 2 SubRing s
112, 5sravsca 16246 . 2 SubRing
122, 5sramulr 16244 . 2 SubRing
131sralmod 16250 . . 3 SubRing
15 crngrng 15666 . . . 4
1615adantr 452 . . 3 SubRing
17 eqidd 2436 . . . 4 SubRing
182, 5sraaddg 16243 . . . . 5 SubRing
1918proplem3 13908 . . . 4 SubRing
2012proplem3 13908 . . . 4 SubRing
2117, 6, 19, 20rngpropd 15687 . . 3 SubRing
2216, 21mpbid 202 . 2 SubRing
238subrgcrng 15864 . 2 SubRing s
2416adantr 452 . . 3 SubRing
255adantr 452 . . . 4 SubRing
26 simpr1 963 . . . 4 SubRing
2725, 26sseldd 3341 . . 3 SubRing
28 simpr2 964 . . 3 SubRing
29 simpr3 965 . . 3 SubRing
30 eqid 2435 . . . 4
313, 30rngass 15672 . . 3
3224, 27, 28, 29, 31syl13anc 1186 . 2 SubRing
33 eqid 2435 . . . . 5 mulGrp mulGrp
3433crngmgp 15664 . . . 4 mulGrp CMnd
3534ad2antrr 707 . . 3 SubRing mulGrp CMnd
3633, 3mgpbas 15646 . . . 4 mulGrp
3733, 30mgpplusg 15644 . . . 4 mulGrp
3836, 37cmn12 15424 . . 3 mulGrp CMnd
3935, 28, 27, 29, 38syl13anc 1186 . 2 SubRing
406, 7, 10, 11, 12, 14, 22, 23, 32, 39isassad 16374 1 SubRing AssAlg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  cmulr 13522  CMndccmn 15404  mulGrpcmgp 15640  crg 15652  ccrg 15653  SubRingcsubrg 15856  clmod 15942   subringAlg csra 16232  AssAlgcasa 16361 This theorem is referenced by:  rlmassa  16377 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-sra 16236  df-assa 16364
 Copyright terms: Public domain W3C validator