Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srabn Structured version   Unicode version

Theorem srabn 19306
 Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srabn.a subringAlg
srabn.j
Assertion
Ref Expression
srabn NrmRing CMetSp SubRing Ban s

Proof of Theorem srabn
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4 NrmRing CMetSp SubRing CMetSp
2 eqidd 2436 . . . . 5 NrmRing CMetSp SubRing
3 srabn.a . . . . . . 7 subringAlg
43a1i 11 . . . . . 6 NrmRing CMetSp SubRing subringAlg
5 eqid 2435 . . . . . . . 8
65subrgss 15861 . . . . . . 7 SubRing
763ad2ant3 980 . . . . . 6 NrmRing CMetSp SubRing
84, 7srabase 16242 . . . . 5 NrmRing CMetSp SubRing
94, 7srads 16249 . . . . . 6 NrmRing CMetSp SubRing
109reseq1d 5137 . . . . 5 NrmRing CMetSp SubRing
114, 7sratopn 16248 . . . . 5 NrmRing CMetSp SubRing
122, 8, 10, 11cmspropd 19294 . . . 4 NrmRing CMetSp SubRing CMetSp CMetSp
131, 12mpbid 202 . . 3 NrmRing CMetSp SubRing CMetSp
14 eqid 2435 . . . . . 6 Scalar Scalar
1514isbn 19283 . . . . 5 Ban NrmVec CMetSp Scalar CMetSp
16 3anrot 941 . . . . 5 NrmVec CMetSp Scalar CMetSp CMetSp Scalar CMetSp NrmVec
17 3anass 940 . . . . 5 CMetSp Scalar CMetSp NrmVec CMetSp Scalar CMetSp NrmVec
1815, 16, 173bitri 263 . . . 4 Ban CMetSp Scalar CMetSp NrmVec
1918baib 872 . . 3 CMetSp Ban Scalar CMetSp NrmVec
2013, 19syl 16 . 2 NrmRing CMetSp SubRing Ban Scalar CMetSp NrmVec
214, 7srasca 16245 . . . . 5 NrmRing CMetSp SubRing s Scalar
2221eleq1d 2501 . . . 4 NrmRing CMetSp SubRing s CMetSp Scalar CMetSp
23 eqid 2435 . . . . . 6 s s
24 srabn.j . . . . . 6
2523, 5, 24cmsss 19295 . . . . 5 CMetSp s CMetSp
261, 7, 25syl2anc 643 . . . 4 NrmRing CMetSp SubRing s CMetSp
2722, 26bitr3d 247 . . 3 NrmRing CMetSp SubRing Scalar CMetSp
283sranlm 18712 . . . . . 6 NrmRing SubRing NrmMod
29283adant2 976 . . . . 5 NrmRing CMetSp SubRing NrmMod
3014isnvc2 18726 . . . . . 6 NrmVec NrmMod Scalar
3130baib 872 . . . . 5 NrmMod NrmVec Scalar
3229, 31syl 16 . . . 4 NrmRing CMetSp SubRing NrmVec Scalar
3321eleq1d 2501 . . . 4 NrmRing CMetSp SubRing s Scalar
3432, 33bitr4d 248 . . 3 NrmRing CMetSp SubRing NrmVec s
3527, 34anbi12d 692 . 2 NrmRing CMetSp SubRing Scalar CMetSp NrmVec s
3620, 35bitrd 245 1 NrmRing CMetSp SubRing Ban s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462  Scalarcsca 13524  cds 13530  ctopn 13641  cdr 15827  SubRingcsubrg 15856   subringAlg csra 16232  ccld 17072  NrmRingcnrg 18619  NrmModcnlm 18620  NrmVeccnvc 18621  CMetSpccms 19277  Bancbn 19278 This theorem is referenced by:  rlmbn  19307 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-icc 10915  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-abv 15897  df-lmod 15944  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-haus 17371  df-fil 17870  df-flim 17963  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nrg 18625  df-nlm 18626  df-nvc 18627  df-cfil 19200  df-cmet 19202  df-cms 19280  df-bn 19281
 Copyright terms: Public domain W3C validator