MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srabn Unicode version

Theorem srabn 19183
Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srabn.a  |-  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `
 S )
srabn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
srabn  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )

Proof of Theorem srabn
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  W  e. CMetSp )
2 eqidd 2390 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Base `  W )  =  ( Base `  W
) )
3 srabn.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `
 S )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
5 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65subrgss 15798 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
763ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
84, 7srabase 16179 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Base `  W )  =  ( Base `  A
) )
94, 7srads 16186 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( dist `  W )  =  ( dist `  A
) )
109reseq1d 5087 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( (
dist `  A )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )
114, 7sratopn 16185 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( TopOpen `  W )  =  ( TopOpen `  A
) )
122, 8, 10, 11cmspropd 19173 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( W  e. CMetSp  <->  A  e. CMetSp ) )
131, 12mpbid 202 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  e. CMetSp )
14 eqid 2389 . . . . . 6  |-  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  A )
1514isbn 19162 . . . . 5  |-  ( A  e. Ban 
<->  ( A  e. NrmVec  /\  A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A
)  e. CMetSp ) )
16 3anrot 941 . . . . 5  |-  ( ( A  e. NrmVec  /\  A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp )  <->  ( A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
)
17 3anass 940 . . . . 5  |-  ( ( A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )  <->  ( A  e. CMetSp  /\  ( (Scalar `  A
)  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec
) ) )
1815, 16, 173bitri 263 . . . 4  |-  ( A  e. Ban 
<->  ( A  e. CMetSp  /\  (
(Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
) )
1918baib 872 . . 3  |-  ( A  e. CMetSp  ->  ( A  e. Ban  <->  ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
) )
2013, 19syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec ) ) )
214, 7srasca 16182 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
2221eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e. CMetSp 
<->  (Scalar `  A )  e. CMetSp ) )
23 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( Ws  S )  =  ( Ws  S )
24 srabn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
2523, 5, 24cmsss 19174 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  S  C_  ( Base `  W )
)  ->  ( ( Ws  S )  e. CMetSp  <->  S  e.  ( Clsd `  J )
) )
261, 7, 25syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e. CMetSp 
<->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2722, 26bitr3d 247 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( (Scalar `  A
)  e. CMetSp  <->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
283sranlm 18593 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  S  e.  (SubRing `  W )
)  ->  A  e. NrmMod )
29283adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  e. NrmMod )
3014isnvc2 18607 . . . . . 6  |-  ( A  e. NrmVec 
<->  ( A  e. NrmMod  /\  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3130baib 872 . . . . 5  |-  ( A  e. NrmMod  ->  ( A  e. NrmVec  <->  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3229, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. NrmVec  <->  (Scalar `  A
)  e.  DivRing ) )
3321eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e.  DivRing 
<->  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3432, 33bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. NrmVec  <->  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) )
3527, 34anbi12d 692 . 2  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )
3620, 35bitrd 245 1  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265    X. cxp 4818   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   ↾s cress 13399  Scalarcsca 13461   distcds 13467   TopOpenctopn 13578   DivRingcdr 15764  SubRingcsubrg 15793   subringAlg csra 16169   Clsdccld 17005  NrmRingcnrg 18500  NrmModcnlm 18501  NrmVeccnvc 18502  CMetSpccms 19156  Bancbn 19157
This theorem is referenced by:  rlmbn  19184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ico 10856  df-icc 10857  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ds 13480  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-subrg 15795  df-abv 15834  df-lmod 15881  df-lvec 16104  df-sra 16173  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-haus 17303  df-fil 17801  df-flim 17894  df-xms 18261  df-ms 18262  df-nm 18503  df-ngp 18504  df-nrg 18506  df-nlm 18507  df-nvc 18508  df-cfil 19081  df-cmet 19083  df-cms 19159  df-bn 19160
  Copyright terms: Public domain W3C validator