MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralmod0 Unicode version

Theorem sralmod0 16039
Description: The subring module inherits a zero from its ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sralmod0.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
sralmod0.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  W ) )
sralmod0.s  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
Assertion
Ref Expression
sralmod0  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  A ) )

Proof of Theorem sralmod0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sralmod0.z . 2  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  W ) )
2 eqidd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  W ) )
3 sralmod0.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
4 sralmod0.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
53, 4srabase 16030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  A ) )
63, 4sraaddg 16031 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  W
)  =  ( +g  `  A ) )
76proplem3 13692 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  W
)  /\  b  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
a ( +g  `  W
) b )  =  ( a ( +g  `  A ) b ) )
82, 5, 7grpidpropd 14498 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  =  ( 0g
`  A ) )
91, 8eqtrd 2390 1  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   ` cfv 5337   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   0gc0g 13499   subringAlg csra 16020
This theorem is referenced by:  rlm0  16049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-sra 16024
  Copyright terms: Public domain W3C validator