MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srasca Unicode version

Theorem srasca 16182
Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
srapart.s  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
Assertion
Ref Expression
srasca  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )

Proof of Theorem srasca
StepHypRef Expression
1 scaid 13519 . . . 4  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
2 5re 10009 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
3 5lt6 10086 . . . . . 6  |-  5  <  6
42, 3ltneii 9119 . . . . 5  |-  5  =/=  6
5 scandx 13518 . . . . . 6  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
6 vscandx 13520 . . . . . 6  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
75, 6neeq12i 2564 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )  <->  5  =/=  6 )
84, 7mpbir 201 . . . 4  |-  (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
91, 8setsnid 13438 . . 3  |-  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) )  =  (Scalar `  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W
) >. ) )
10 ovex 6047 . . . . 5  |-  ( Ws  S )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  e.  _V )
121setsid 13437 . . . 4  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( Ws  S )  e.  _V )  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) ) )
1311, 12sylan2 461 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( Ws  S
)  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) ) )
14 srapart.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
1514adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `
 S ) )
16 srapart.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
17 sraval 16177 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
( subringAlg  `  W ) `  S )  =  ( ( W sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
)
1816, 17sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
)  =  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W
) >. ) )
1915, 18eqtrd 2421 . . . 4  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  A  =  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
)
2019fveq2d 5674 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  (Scalar `  A
)  =  (Scalar `  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
) )
219, 13, 203eqtr4a 2447 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( Ws  S
)  =  (Scalar `  A ) )
221str0 13434 . . 3  |-  (/)  =  (Scalar `  (/) )
23 reldmress 13444 . . . . 5  |-  Rel  doms
2423ovprc1 6050 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Ws  S )  =  (/) )
2524adantr 452 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( Ws  S )  =  (/) )
26 fvprc 5664 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( subringAlg  `  W )  =  (/) )
2726fveq1d 5672 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S )  =  (
(/) `  S )
)
28 fv01 5704 . . . . . 6  |-  ( (/) `  S )  =  (/)
2927, 28syl6eq 2437 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S )  =  (/) )
3014, 29sylan9eqr 2443 . . . 4  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  A  =  (/) )
3130fveq2d 5674 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  (/) ) )
3222, 25, 313eqtr4a 2447 . 2  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
3321, 32pm2.61ian 766 1  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   (/)c0 3573   <.cop 3762   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   5c5 9986   6c6 9987   ndxcnx 13395   sSet csts 13396   Basecbs 13398   ↾s cress 13399   .rcmulr 13459  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462   subringAlg csra 16169
This theorem is referenced by:  sralmod  16187  rlmsca  16200  rlmsca2  16201  sraassa  16313  sranlm  18593  srabn  19183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-sets 13404  df-ress 13405  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-sra 16173
  Copyright terms: Public domain W3C validator