MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srasca Structured version   Unicode version

Theorem srasca 16245
Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
srapart.s  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
Assertion
Ref Expression
srasca  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )

Proof of Theorem srasca
StepHypRef Expression
1 scaid 13582 . . . 4  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
2 5re 10067 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
3 5lt6 10144 . . . . . 6  |-  5  <  6
42, 3ltneii 9178 . . . . 5  |-  5  =/=  6
5 scandx 13581 . . . . . 6  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
6 vscandx 13583 . . . . . 6  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
75, 6neeq12i 2610 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )  <->  5  =/=  6 )
84, 7mpbir 201 . . . 4  |-  (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
91, 8setsnid 13501 . . 3  |-  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) )  =  (Scalar `  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W
) >. ) )
10 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( Ws  S )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  e.  _V )
121setsid 13500 . . . 4  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( Ws  S )  e.  _V )  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) ) )
1311, 12sylan2 461 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( Ws  S
)  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) ) )
14 srapart.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
1514adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `
 S ) )
16 srapart.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
17 sraval 16240 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
( subringAlg  `  W ) `  S )  =  ( ( W sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
)
1816, 17sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
)  =  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W
) >. ) )
1915, 18eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  A  =  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
)
2019fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  (Scalar `  A
)  =  (Scalar `  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
) )
219, 13, 203eqtr4a 2493 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( Ws  S
)  =  (Scalar `  A ) )
221str0 13497 . . 3  |-  (/)  =  (Scalar `  (/) )
23 reldmress 13507 . . . . 5  |-  Rel  doms
2423ovprc1 6101 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Ws  S )  =  (/) )
2524adantr 452 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( Ws  S )  =  (/) )
26 fvprc 5714 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( subringAlg  `  W )  =  (/) )
2726fveq1d 5722 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S )  =  (
(/) `  S )
)
28 fv01 5755 . . . . . 6  |-  ( (/) `  S )  =  (/)
2927, 28syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S )  =  (/) )
3014, 29sylan9eqr 2489 . . . 4  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  A  =  (/) )
3130fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  (/) ) )
3222, 25, 313eqtr4a 2493 . 2  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
3321, 32pm2.61ian 766 1  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   <.cop 3809   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   5c5 10044   6c6 10045   ndxcnx 13458   sSet csts 13459   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   subringAlg csra 16232
This theorem is referenced by:  sralmod  16250  rlmsca  16263  rlmsca2  16264  sraassa  16376  sranlm  18712  srabn  19306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-sets 13467  df-ress 13468  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-sra 16236
  Copyright terms: Public domain W3C validator