MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srasca Structured version   Unicode version

Theorem srasca 16258
Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
srapart.s  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
Assertion
Ref Expression
srasca  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )

Proof of Theorem srasca
StepHypRef Expression
1 scaid 13595 . . . 4  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
2 5re 10080 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
3 5lt6 10157 . . . . . 6  |-  5  <  6
42, 3ltneii 9191 . . . . 5  |-  5  =/=  6
5 scandx 13594 . . . . . 6  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
6 vscandx 13596 . . . . . 6  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
75, 6neeq12i 2615 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )  <->  5  =/=  6 )
84, 7mpbir 202 . . . 4  |-  (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
91, 8setsnid 13514 . . 3  |-  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) )  =  (Scalar `  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W
) >. ) )
10 ovex 6109 . . . . 5  |-  ( Ws  S )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  e.  _V )
121setsid 13513 . . . 4  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( Ws  S )  e.  _V )  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) ) )
1311, 12sylan2 462 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( Ws  S
)  =  (Scalar `  ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) ) )
14 srapart.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
) )
1514adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  A  =  ( ( subringAlg  `  W ) `
 S ) )
16 srapart.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
17 sraval 16253 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
( subringAlg  `  W ) `  S )  =  ( ( W sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
)
1816, 17sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S
)  =  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S
) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W
) >. ) )
1915, 18eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  A  =  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
)
2019fveq2d 5735 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  (Scalar `  A
)  =  (Scalar `  ( ( W sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( Ws  S ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  ( .r `  W ) >. )
) )
219, 13, 203eqtr4a 2496 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ph )  ->  ( Ws  S
)  =  (Scalar `  A ) )
221str0 13510 . . 3  |-  (/)  =  (Scalar `  (/) )
23 reldmress 13520 . . . . 5  |-  Rel  doms
2423ovprc1 6112 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Ws  S )  =  (/) )
2524adantr 453 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( Ws  S )  =  (/) )
26 fvprc 5725 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( subringAlg  `  W )  =  (/) )
2726fveq1d 5733 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S )  =  (
(/) `  S )
)
28 fv01 5766 . . . . . 6  |-  ( (/) `  S )  =  (/)
2927, 28syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ( subringAlg  `  W ) `  S )  =  (/) )
3014, 29sylan9eqr 2492 . . . 4  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  A  =  (/) )
3130fveq2d 5735 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  (/) ) )
3222, 25, 313eqtr4a 2496 . 2  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
3321, 32pm2.61ian 767 1  |-  ( ph  ->  ( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   <.cop 3819   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   5c5 10057   6c6 10058   ndxcnx 13471   sSet csts 13472   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   .rcmulr 13535  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   subringAlg csra 16245
This theorem is referenced by:  sralmod  16263  rlmsca  16276  rlmsca2  16277  sraassa  16389  sranlm  18725  srabn  19319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-sets 13480  df-ress 13481  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-sra 16249
  Copyright terms: Public domain W3C validator