MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngadd Unicode version

Theorem srngadd 15622
Description: The involution function in a star ring distributes over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i  |-  .*  =  ( * r `  R )
srngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srngadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
srngadd  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  .*  `  X )  .+  (  .*  `  Y ) ) )

Proof of Theorem srngadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( * r f `  R
)  =  ( * r f `  R
)
31, 2srngrhm 15616 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( * r f `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr `  R
) ) )
4 rhmghm 15503 . . . 4  |-  ( ( * r f `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) )  ->  ( * r f `  R )  e.  ( R  GrpHom  (oppr `  R ) ) )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( * r f `  R )  e.  ( R  GrpHom  (oppr `  R ) ) )
6 srngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 srngadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
81, 7oppradd 15412 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  (oppr `  R
) )
96, 7, 8ghmlin 14688 . . 3  |-  ( ( ( * r f `
 R )  e.  ( R  GrpHom  (oppr `  R
) )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( * r f `
 R ) `  X )  .+  (
( * r f `
 R ) `  Y ) ) )
105, 9syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( * r f `
 R ) `  X )  .+  (
( * r f `
 R ) `  Y ) ) )
11 srngrng 15617 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  R  e.  Ring )
126, 7rngacl 15368 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
1311, 12syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
14 srngcl.i . . . 4  |-  .*  =  ( * r `  R )
156, 14, 2stafval 15613 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  B  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .+  Y ) ) )
1613, 15syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .+  Y ) ) )
176, 14, 2stafval 15613 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( * r f `
 R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
18173ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( * r f `
 R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
196, 14, 2stafval 15613 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( * r f `
 R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
20193ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( * r f `
 R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
2118, 20oveq12d 5876 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 X )  .+  ( ( * r f `  R ) `
 Y ) )  =  ( (  .* 
`  X )  .+  (  .*  `  Y ) ) )
2210, 16, 213eqtr3d 2323 1  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  .*  `  X )  .+  (  .*  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   * rcstv 13210    GrpHom cghm 14680   Ringcrg 15337  opprcoppr 15404   RingHom crh 15494   * r fcstf 15608   *Ringcsr 15609
This theorem is referenced by:  ipdi  16544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-rnghom 15496  df-staf 15610  df-srng 15611
  Copyright terms: Public domain W3C validator